Le graal de la grande unification

Certaines équipes de recherche ne désespèrent pas de réaliser la grande unification. On entend par là le fait de construire une théorie cohérente unifiant les diverses interactions physiques. C’est leur quête, leur Graal.

Vaste programme s’il en est. Car, comme je l’ai évoqué dans l’article « La grande unification », la démarche est elle-même l’objet de doutes, d’oppositions, de critiques et de vifs débats. En effet, certains ne croient pas que courir après l’unification soit un objectif raisonnable.

Dans ce contexte incertain et mouvant, je vous propose d’examiner les points suivants :

un bref résumé des connaissances fondamentales acquises entre 1850 et 1950 ;
un début de réflexion sur la notion de masse ;
le récit d’une tentative avortée d’unification entre les équations de Maxwell pour l’électromagnétisme et celles de Dirac pour la description des particules.

L'évolution des connaissances sur la nature de la lumière

L'incommensurable apport de J.C. Maxwell

A la fin du dix-neuvième siècle, les travaux de Maxwell, [01], apportent des informations essentielles :

la lumière est un phénomène de nature électromagnétique;
la lumière se propage à une vitesse finie dont il donne la valeur avec une remarquable précision ; elle vaut environ 300.000 km/s et elle est souvent notée « c ».
les phénomènes électriques et magnétiques se laissent décrire grâce à quatre équations seulement. C’est une synthèse absolument remarquable quand on songe à la multiplicité et à la diversité des expériences réalisées par ses contemporains et prédécesseurs.
Dans le vide lorsque le système est celui des unités de Planck (il est tel que c = 1), elles prennent le formalisme apparemment simple suivant [02; p. 264, (7.88)] :

Une observation attentive suffit à constater que la substitution (E, B) => (B, -E) les laisse inchangées. Les ondes électromagnétiques exhibent une forme de dualité.

L’histoire des sciences comporte ensuite diverses étapes cruciales :

Les expériences de Morley et Michelson, [03], [04 ; annexe 9.A].

Elle démontrant que la vitesse des ondes électromagnétiques (de la lumière) circulant dans le vide :

ne varie pas avec l’époque de l’année et
ne dépend pas de la direction dans laquelle elle se propage

… pourvu que les observateurs soient situés à l’origine d’un référentiel inertiel.

La mise au point consécutive des transformations de Lorentz-Poincaré, [04 ; annexe 9.B].

Elles mettent clairement en exergue l’aspect relatif de l’électricité et du magnétisme. Il convient de comprendre par-là que la vitesse permet de lier l’un à l’autre. Que ce soit la vitesse de l’objet physique observé ou celle de l’observateur. Par exemple, pour un observateur fixe, une charge statique crée un champ électrique pur. En revanche, lorsque cette même charge devient mobile, l’observateur perçoit en plus un champ magnétique ; voir [04 ; annexe 10.A].

Les expériences d’interférométrie.

Elles apportent la preuve de la nature ondulatoire de la lumière, [05].

In fine, tenant compte des acquis fournis par Fresnel, Maxwell et plein d’autres, la lumière s’avère être un phénomène électromagnétique ondulatoire se propageant avec une vitesse spatiale finie et constante.

Ce constat légitime l’envie de vouloir décrire la lumière (plus généralement les ondes électromagnétiques) avec l’équation de Klein-Gordon.

Pour le faire correctement, il devient nécessaire de savoir répondre à une question anodine mais importante : « La lumière a-t-elle une masse ? »

Pourquoi faut-il se poser cette question ? Eh bien tout simplement parce que cette équation s’écrit en général [06 ; p.4, (6)], [12 ; p.44, (3.26)] :

De Maxwell à Dirac

Il est donc important :

de connaitre la valeur de la masse m ;
de savoir dans quel contexte géométrique la lumière se propage puisque R symbolise une courbure.

Cette équation possède en réalité de nombreux visages ; chacun dépend des circonstances qu’elle veut décrire. Il est instructif de lire par exemple [05 ; pp. 133, Equ. (63), p.337, Equ.(20), et p. 557]. Quoiqu’il en soit, l’équation de Klein-Gordon :

décrit la propagation d’ondes massives, y compris dans le vide et y compris en présence de courbure de la géométrie ;
mérite d’être interprétée comme la mère mathématique de la célèbre équation de Dirac [07 ; p. 213 et p. 269], [08; évoquée en p. 1205 pour dire qu’elle ne serait pas étudiée à cet endroit-là et p. 1208], [09 ; en allemand, voir le chapitre 2], [10 ; §3.1, pp. 98-99]. On pourrait d’ailleurs dire – avec un peu d’exagération- que celle de Dirac représente une sorte de racine carrée de celle de Klein-Gordon.

Première esquisse des difficultés concernant la notion de masse

Au bout de ce cheminement historique, la question de la masse des particules s’impose d’elle-même. Et elle est plus compliquée à traiter qu’il n’y parait au premier abord ; pourquoi ?

L'exemple de la lumière

Je vais tenter de répondre en prenant l’exemple de la lumière.

Dans un contexte classique, une des lois de Newton établit un lien direct et linéaire entre la cause et l’effet et le coefficient de proportionnalité entre les deux est la masse de l’objet subissant la cause.

Force = masse . accélération

Toujours dans ce contexte traditionnel, il est admis que la lumière est équivalente à une particule sans masse qu’on nomme « un photon ».

m_Newton(photon) = 0

Par conséquent, l’action d’une force extérieure sur un photon ne doit avoir aucun effet.

Cependant, vous avez sans doute déjà vu ces petits objets décoratifs qu’on peut placer dans son salon et dans lesquels de très légères pales tournent dans un plan perpendiculaire à l’axe vertical qui les porte.

Comme il n’y a pas de moteur, on en déduit que la lumière environnante est la cause du mouvement des pales.

La lumière porte donc avec elle de l’énergie et une quantité de mouvement ⁽³⁾p.

Il semble important de retenir que les ondes sont une des manifestations énergétiques présentes dans l’univers. Lorsqu’elles circulent en chute libre (F = 0) dans les régions vides dépourvues de courbure (R = 0), cette énergie est bien décrite par la relation de dispersion [05; voir l’index], [06 ; p.16, (47)] :

E² = m².c⁴ + c².⁽³⁾p²

Il se trouve que celle-ci :

n’est qu’un des visages de l’équation de Klein-Gordon ;
permet la description d’ondes de masse nulle, donc en particulier des photons ; auquel cas :

E² = c². ⁽³⁾p²

… mais uniquement si la définition de la quantité de mouvement apparaissant ici n’est pas celle de la mécanique classique. En effet, si elle était celle de la mécanique classique, elle serait une fois de plus nulle puisque la masse du photon est supposée être nulle !

⁽³⁾p = masse . ⁽³⁾vitesse

C’est l’endroit où il convient de faire intervenir la formule :

⁽³⁾p = hbar . ⁽³⁾k

La quantité de mouvement non classique se rapporte au vecteur d’onde, donc à la nature ondulatoire du phénomène décrit par la relation de dispersion.

La théorie de la gravitation due à A. Einstein complique un peu, mais surtout complète, l’image qu’on doit se faire des ondes, donc de la lumière.

L’explication phénoménologique donnée à la déviation des rayons solaires mesurée lors de l’éclipse de 1919 [11] change en effet la compréhension du phénomène lumineux.

Concrètement : la lumière d’une étoile fixe lointaine est déviée par la présence de masses situées dans notre proximité.

Or, comme je l’ai indiqué au début de ce paragraphe, ce type de déviation ne peut pas s’expliquer par le biais d’une force d’attraction newtonienne agissant sur la lumière puisque cette force n’agit pas sur les particules ayant une masse nulle !

Donc, et c’est l’explication spécifique donnée par la théorie de la relativité généralisée : la déviation provient du fait que les photons suivent des chemins géométriquement déformés par la présence des masses.

Bilan intermédiaire

L’exemple de la lumière et de sa relation de dispersion dans le vide montrent bien que le mot « masse » contient plusieurs composantes. Chacune d’elles contribue à définir le comportement du phénomène physique étudié. Ces constats portent avec eux une interrogation sous-jacente : « Quelle est la nature des régions vides ? »

En effet,

si un vide est par définition n’importe quelle région située loin des sources d’interactions, alors un photon dans le vide a une quantité de mouvement invariante.
Or elle ne peut pas être du type classique, m_Newton(n).c, car elle serait forcément nulle et une quantité de mouvement nulle ne peut pas signer la présence d’un mouvement.
Cette quantité de mouvement doit donc être de nature ondulatoire et intrinsèque.

Cette conclusion induit l’idée que les régions vides sont forcément équivalentes à un gigantesque bain ondulatoire. La relation de dispersion donne un visage à la quantité de mouvement d’origine ondulatoire.

Il semble enfin légitime de se demander : « Y-a-t-il une composante gravitationnelle dans ce champ ondulatoire universel ? » Une fois encore, la théorie de la gravitation et les dernières vérifications expérimentales de ses prédictions (ondes gravitationnelles, effet Thirring-Lense, précession de Thomas) plaident en faveur d’une réponse affirmative.

La logique esquissée jusqu’ici suggère alors que l’énergie et la quantité de mouvement d’un photon devraient théoriquement comporter une composante d’origine gravitationnelle. Mais c’est évidemment un autre débat.

Peut-on relier les équations de Maxwell à celles de Dirac, autrement ?

Quel que soit le bien-fondé de ma question et quelle que soit la réponse à celle-ci, l’exposé précédent a mené nos pas de Maxwell à Dirac en passant par la très ancienne équation de Klein-Gordon.

Un public averti ou amateur de physique théorique a probablement déjà eu plus ou moins connaissance des propos précédents. En revanche, les travaux ayant tenté d’unifier les équations de Maxwell et celles de Dirac via la notion de spineur restent presqu’inconnus.

Les équations de Dirac ont indirectement donné naissance aux théories quantiques des champs ; Freeman Dyson a beaucoup contribué à ce processus mais il n’est pas le seul.

Ces nouvelles théories ont favorisé, voire forcé, le développement de nouvelles manières de penser. En particulier, elles ont introduit les notions de probabilité de présence et de courants de probabilités. Celles-ci ont remplacé le concept plus traditionnel des trajectoires bien localisables chères à la vision classique de la dynamique des corps matériels.

Il existe des explications détaillées de cette nécessaire évolution de la pensée physique dans les premiers chapitres de tous les ouvrages introduisant les bases des théories quantiques modernes [06 ; §1.4, pp. 3-5].

En progressant sur ce chemin, la notion incontournable de spineur apparait. Elle est due à E. Cartan et date pratiquement d’un siècle.

Récit d'une tentative infructueuse d'unification

L'état des lieux officiel

Le point de vue usuel issu des travaux théoriques réalisés au vingtième siècle considère que :

les équations de Maxwell décrivent les transmetteurs des interactions électromagnétiques, c’est-à-dire des bosons, en particulier des photons. Ce sont des particules de spin entier égal à un.
les équations de Dirac décrivent les sources des champs électromagnétiques, c’est-à-dire des fermions, en particulier des électrons. Ce sont des particules matérielles de spin un demi.

Les deux types de « particules » appartiennent à deux sous-ensembles distincts de l’ensemble des représentations irréductibles du groupe de Poincaré.

Ce point de vue semble interdire l’unification des deux familles de particules au sein d’une théorie plus vaste.

Les motifs permettant d'espérer une unification

Pour autant, les irréductibles partisans de l’existence de théories unitaires ont remarqué deux éléments techniques susceptibles d’ouvrir les portes d’un domaine commun aux particules des deux sous-ensembles cités ; propos relatés dans [06 ; en anglais] :

Il existe de multiples représentations des équations de Maxwell et de Dirac ;

2. Toutes les deux admettent des formulations faisant intervenir des spineurs.

Une tentative d'unification remarquable menée au début du vingtième siècle

En 1928, Dirac publie une équation devenue célèbre (et dont il aurait dit qu’elle était plus intelligente que lui). La démonstration du lien entre l’équation de Klein-Gordon qu’on appelait à cette époque « équation d’onde relativiste de Schrödinger » (voir [13 ; p.3]) et celle de Dirac n’est pas horriblement compliquée et se trouve dans tous les ouvrages d’introduction à la mécanique quantique ; une fois encore voir [06] ou [10 ; § 3.3, pp. 102-109, en allemand].

Son intérêt réside dans le fait qu’elle réalise avec succès un lien entre l’approche quantique et la mécanique relativiste restreinte puisqu’elle permet la description des électrons relativistes (synonyme : se déplaçant à grande vitesse).

Plusieurs équipes de chercheurs ont ensuite analysé de façon technique et précise la manière dont les spineurs apparaissent dans les travaux de Maxwell et dans ceux de Dirac. Il faut rendre en particulier hommage à l’analyse de l’équation de Dirac faite par C. Lanczos en 1929 dans [09]. Il y fait apparaitre des liens avec les très anciennes notions de bi-quaternions et d’algèbres de Clifford.

Lanczos ne parlera que de très rares fois de son essai de 1929 ; propos relatés dans [13]. Ce travail est d’ailleurs désormais oublié – sauf par quelques spécialistes de l’histoire de la physique et quelques chercheurs suivant encore ses traces.

Le document [09] démontre que le formalisme de l’équation de Dirac peut s’obtenir dans le cadre d’une démarche mathématique plus sophistiquée de la pensée. On trouve une brève description de la démarche suivie dans [14 ; introduction, 1937]. Il y est mentionné que Lanczos interprète les composantes de la fonction d’onde comme étant celles d’un quaternion et les composantes des matrices de Dirac comme des fonctions linéairement dépendantes de quaternions.

Plus surprenant encore, cette approche montre que l’équation d’onde a toujours pour solutions non pas une mais deux équations de Dirac ; voir [13 ; § 7. p. 14, (19)].

Les calculs figurant dans [14] notent également au passage un point technique apparemment anodin. Il se révèlera pourtant être important dans les années qui suivront. A savoir : il existe une indétermination sur la manière de définir le produit de deux quaternions [14 ; p. 153 de la référence]. En effet, il en existe deux…

Le document [13] revient sur ce point en page 8 et évoque le lien possible entre cette double définition et la notion de particules isospin ; notion dont Lanczos ne pouvait pas encore avoir connaissance pour des raisons liées à la chronologie des découvertes physiques expérimentales.

Cette exploration s’est finalement heurtée à une difficulté technique majeure. Elle tient au fait que les spineurs intervenant dans les équations étudiées n’ont pas le même nombre de composantes : six pour les équations de Maxwell et huit pour celles de Dirac.

Ce qui, jusqu’à ce jour, oblitère considérablement les chances d’atteindre l’objectif d’unification au travers de cette démarche.

L'enseignement à tirer de cette tentative avortée d'unification

Il convient certainement de retenir de cet exemple historique les points suivants :

L’existence d’un objet mathématique commun à deux approches physiques (ici les spineurs) n’implique pas nécessairement qu’il s’agisse vraiment des mêmes objets ; « Comparaison n’est pas raison ».
Réaliser une analyse technique précise et sans compromis de l’hypothèse initiale est une nécessité absolue. C’est bien connu : « Le diable se cache dans les détails » et il se charge de détruire un bon nombre de nos rêves , espoirs ou spéculations.
Fort heureusement, il existe une multitude d’approches intellectuelles possibles pour un sujet donné. Cette créativité mentale, lorsqu’elle est utilisée à bon escient, laisse intact l’espoir de réaliser un jour la grande unification recherchée.
Les travaux sur les algèbres de Clifford et sur les quaternions ne se sont pas arrêtés avec la difficulté technique rappelée ci-dessus. A titre d’exemple, il existe désormais une formulation de la théorie de la gravitation d’A. Einstein dans le langage de ces algèbres.

La version initiale est parue en date du 24 avril 2023 ; elle a été retravaillée le 28 février 2024.

Bibliographie

[01] Maxwell, J. C.: A dynamical theory of the electromagnetic field; Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1865 155, 459-512, doi: 10.1098/rstl.1865.0008.

[02] Purcell, E.M., Guthmann, C. et Lallemand, P. : Electricité et magnétisme ; Berkeley, cours de physique, volume 2, © Librairie Armand Colin, Paris, 1973, 460 pages. Il s’agit en réalité de la traduction française de l’ouvrage intitulé «Electricity and magnetism » Berkeley Physics Course, volume 2, et publié aux U.S.A. en 1965 par la McGraw-Hill Book Company, © 1963, 1964, 1965 by Education Development Center. Inc. Newton. Masschussetts.

[03] Michelson, A.A. and Morley, E, W.: On the relative motion of the Earth and the luminiferous ether; in American Journal of Sciences, Band 34, 1887, pp. 333-345.

[04] Lennuier, R., Gal, P.-Y. et Perrin, D : Mécaniques des particules, champs ; collection U, © Librairie Armand Colin, Paris, 1970.

[05] Crawford, S. F. Junior and Léna P. : Ondes ; Berkeley, cours de physique, volume 3, © Librairie Armand Colin, Paris, 1972 (Il s’agit en réalité de la traduction française de l’ouvrage intitulé « Waves » Berkeley Physics Course, volume 3, et publié en 1968 par la McGraw-Hill Book Company), 603 pages.

[06] Freeman Dyson : Quantenfeldtheorie, © Springer Spektrum, Springer Science+Business Media, traduction de l’œuvre originale (en anglais) en allemand par Franziska Riedel et Benedikt Ziebarth, ISBN 978-3-642-37677-1, 2011, 288 pages.

[07] Wichmann E. H., Lallemand, P. et Ostrowsky, N. : Physique quantique ; Berkeley, cours de physique, volume 4, © Librairie Armand Colin, Paris, 1974, 423 pages. Il s’agit en réalité de la traduction française de l’ouvrage intitulé « Quantum Physics » Berkeley Physics Course, volume 4, et publié en 1967 par la McGraw-Hill Book Company.

[06] On the “equivalence” of the Maxwell and the Dirac equations; arXiv: math-phy/0201053v2, 4 April 2002; also published in Int. J. Theor. Phys. 41 (2002) 689-694.

[09] Lanczos, C. Die tensoranalytischen Beziehungen der Diracschen Gleichung , Zeits. f. Phys. 57 (1929) 447–473. Reprinted and translated in W.R. Davis et al., eds., Cornelius Lanczos Collected Published Papers With Commentaries, III (North Carolina State University, Raleigh, 1998) pages 2-1132 to 2-1185; The tensor analytical relationships of Dirac’s equation; arXiv: physics/0508002v3 [physics.hist-phy] 10 August 2005, 29 p.

[10] Scherz, U.: Quantenmechanik: Eine Einführung mit Anwendungen auf Atome, Moleküle und Festkörper; Teubner Studienbücher, Physik, © 1999, B. G. Teubner, Stuttgart, Leipzig, ISBN 3-519-03246-5, 669 Pages.

[11] Coles, P.: Einstein, Eddington and the 1919 eclipse; books & arts, Nature 568, 306-307 (2019).

[12] Birell, N. D. and Davies, P. C. W.: Quantum fields in curved space, Cambridge monographs on mathematical physics; ISBN 0-521-278-58-9 paperback, © Cambridge University Press, 1982.

[13] From Dirac’s equation to non-linear wave mechanics; arXiv: physics/0508036v2 [physics.hist-phy] 10 August 2005.

[14] Conway, A. W.: Quaternion treatment of the relativistic wave equation; publication of the royal society, Vol. CLXII-A. pp. 145-154, 15 September 1937, 10 pages.