L'énigme euclidienne et les noyaux de classe II
Rappel : définitions des éléments de la classe II
J’ai mis au point une méthode intrinsèque destinée à décomposer (synonyme : diviser) les produits vectoriels déformés du type [projectile, cible][matrice déformante] ; voir la sémantique. Elle a :
- mis en exergue l’importance de la Hessienne de la polynomiale de degré deux notée Λ(projectile) accompagnant chaque décomposition présumée.
- montré que la valeur du déterminant de cette Hessienne constitue le critère opérant une classification parmi toutes les Hessiennes :
- Classe I : le déterminant de la Hessienne n’est pas nul.
- Classe II : le déterminant de la Hessienne est nul.
Concrètement, la nullité du déterminant d’une Hessienne vaut de facto placement de la décomposition étudiée dans la classe II. Aux noyaux des décompositions de cette classe il est possible d’appliquer les outils de la théorie quantique des champs.
Note historique sur les noyaux de la classe II
Il se trouve que les Hessiennes dont les déterminants sont nuls ont fait l’objet d’une attention particulière de la part d’O. Hesse lui-même dans les années 1850-1860.
Il présumait qu’elles étaient toujours associées avec des hypersurfaces conoïdales.
L’histoire des mathématiques a démontré que cette proposition n’était vraie que pour les espaces de dimension deux et trois.
Les projections orthogonales et les noyaux de classe II
Plus intéressant encore, les preuves de la non-validité de la proposition initiale font appel à la géométrie projective.
Ce fait m’a donné envie de savoir si les noyaux de la classe II pouvaient s’intégrer dans la théorie des projections orthogonales.
Mon objectif à plus long terme :
- trouver un lien avec les résultats acquis à l’aide des méthodes de décomposition des produits de Lie déformés.
- Etendre la méthode intrinsèque aux espaces de dimension quatre et plus. Voir les prémisses.
Apparition de l'énigme euclidienne dans les espaces de dimension trois
J’explique les conséquences de cette légitime curiosité dans le document.
L’une d’entre elles met en exergue le comportement particulier des produits vectoriels déformés à l’approche de la limite euclidienne.
L’analyse mathématique fait apparaitre les spineurs d’E. Cartan.
Une analyse de l’élément de longueur riemannien menée avec l’aide des résultats de la méthode intrinsèque de décomposition des produits vectoriels déformés fait apparaitre la même problématique.
Fiche descriptive
Titre du document : Produits tensoriels déformés et géométrie.
Sous-titre : Partie I, lien entre projection orthogonale et noyaux de la classe II- Introduction à la spécificité euclidienne.
Immatriculation française : ISBN 978-2-36923-009-0, EAN 9782369230090.
Auteur : © Thierry PERIAT.
Langue : Française.
Version : 2 du 30 mars 2024.
Nombre de pages : 11.
Document (.pdf).
Bibliographie
[01] O. Hesse, Über die Bedingung, unter welche eine homogene ganze Funktion von unabhängigen Variablen durch Lineare Substitutionen von n andern unabhängigen Variablen auf eine homogene Funktion sich zurückführen lässt, die eine Variable weniger enthält, J. reine angew. Math. 42 (1851), 117–124.
[02] O. Hesse, Zur Theorie der ganzen homogenen Funktionen, J. reine angew. Math. 56 (1859), 263–269.
[03] P. Gordan, M. Noether, Über die algebraischen Formen, deren Hesse’sche Determinante identisch verschwindet, Math. Ann. 10 (1876), 547–568
[04] R. Permutti, Su certe forme a hessiana indeterminata, Ricerche di Mat. 6 (1957), 3–10.
[05] R. Permutti, Su certe classi di forme a hessiana indeterminata, Ricerche di Mat. 13 (1964), 97–105
[06] C. Lossen, When does the Hessian determinant vanish identically? (On Gordan and Noether’s Proof of Hesse’s Claim), Bull. Braz. Math. Soc. 35 (2004), 71–82.
[07] U. Perazzo, Sulle varietà cubiche la cui hessiana svanisce identicamente, Giornale di matematiche (Battaglini) 38 (1900), 337–354
[08] A. Franchetta, Sulle forme algebriche di S4 aventi l’hessiana indeterminata, Rend. Mat. 13 (1954), 1–6.
[09] Bröcker, T.: Lineare Algebra und Analytische Geometrie; Grundstudium Mathematik, ein Lehrbuch für Physiker und Mathematiker, zweite, korrigierte Auflage; ISBN 3-7643-7144-7, Copyright © 2004 Birkhäuser Verlag, Postfach 133, CH-4010 Basel, Schweiz, 366 S.
[10] Cartan, E.: The theory of spinors; ISBN 0-486-64070-1, translation of the « Leçons sur la théorie des spineurs (2 volumes) », Hermann, 1937 – 154 p. Dover Publications, Inc. New York © by Hermann, Paris (1966), 157 pages.