Le concept d'involution

Qu'entend-on par involution ?

Le mot « involution » et l’adjectif qui lui correspond, « involutif », ont des significations diverses dans le cadre des mathématiques.

Le concept de système différentiel involutif en est une des illustrations. Il fait d’ailleurs l’objet d’une abondante littérature à laquelle de nombreux auteurs, dont E. Cartan, ont contribué ; voir la référence [01] du document.

Pour autant, il n’est pas certain que le travail présenté ici ait un lien avec cette illustration particulière de la notion d’involution. Le doute repose sur divers arguments :

  • Il parle d’abord et avant tout de produits tensoriels classiques, alternés et de Lie, déformés par des cubes de scalaires ; non pas de fonctions impliquant ces scalaires.
  • Chaque composante d’un quelconque produit tensoriel déformé peut effectivement se comprendre comme le résultat d’une application bilinéaire (voir les données élémentaires). Pour autant, tout produit tensoriel déformé ne peut pas systématiquement s’interpréter comme étant la représentation d’une dérivation intérieure de l’espace vectoriel sur les éléments duquel il agit. En effet, des conditions spécifiques sont nécessaires pour que cette interprétation soit possible.
  • Même si ces conditions sont remplies, le concept d’involution ne peut se confondre avec celui de dérivée intérieure.
  • En effet, dans ce travail, je persiste à penser qu’ « un phénomène involutif est d’abord et avant tout celui dont la répétition de l’action ne modifie pas l’état de l’objet sur lequel il l’applique».La traduction mathématique du concept d’involution dans le domaine des foncteurs correspond ainsi à tout foncteur dont l’action répétée deux fois laisse invariant l’élément sur lequel il agit.

Il s’agit donc de découvrir les conditions permettant de valider la relation générique :

F(F(…)) = … .

Dans ce document :

F = ÄA(a, …) ou [a, …]A

Fiche descriptive

Titre : Le concept d’involution sur les espaces munis de produits tensoriels déformés.

Auteur : © Thierry PERIAT.

Langue : Française.

Immatriculation française : ISBN 978-2-36923-115-8, EAN 9782369231158.

Version : 6. (réorganisation ; focus sur la notion de fonction involutive au sein de la théorie de la question (E) – Les algèbres involutives sont traitées à part.)

Nombre de pages : 24.

Etat d’avancement au : 24 janvier 2024.

Document (.pdf).

Nombre de références : 6.

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Premiers résultats en lien avec le concept d'involution

L’exploration met en exergue quelques informations dont certaines ne sont pas spécifiques au visage particulier du foncteur étudié ici :

  • La présence sous-jacente du groupe tétraédrique ; en particulier dans la gestion des écritures normalisées des éléments de M(3, C).
  • Le lien entre fonction involutive et élément neutre. Par exemple, pour les produits de Lie déformés :

[a, [a, …]A]A = … => B : [a, …]B = …

Autrement dit, si le foncteur [a, …]A est involutif quand il agit sur …, alors le foncteur [a, …]B agit comme un neutre à gauche sur ce … .

  • Le document prend pour exemple ce qui se passe dans un espace de dimension trois (D = 3). Les cubes A et B deviennent des matrices [A] et [B] de M(3, C).
    • Il énonce les relations entre [B] et la paire ([A], a).
    • Il donne le formalisme générique exact de la matrice [B] et la preuve qu’elle est une somme pondérée de six noyaux de classe II ; voir les résultats de la méthode intrinsèque.

Il est prévu de poursuivre l’analyse et le développement de ces premiers résultats.

  • Pour comprendre le rôle d’un cube C apparu comme résultat intermédiaire de cette exploration quelle que soit la dimension D de l’espace. En effet, ses nœuds ont les mêmes propriétés que les composantes du tenseur de courbure de Riemann (voir une présentation inédite du sujet).
  • Pour relier le concept de foncteur involutif à la notion d’algèbre involutive (Le sujet sera présenté sur la page dédiée aux structures mathématiques).

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