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Commentaires, détails

Les produits de deux vecteurs

et

leurs déformations

Produit tensoriel

Il est noté : Ä(…, …).

La théorie les concernant est développée dans de nombreux ouvrages. Il est possible de s’initier avec le petit livret [01].

Projectile

C’est le premier argument d’un produit de deux vecteurs :

Ä(projectile, …)

Cible

C’est le second argument d’un produit de deux vecteurs :

Ä(…, cible)

Cube

Au sein de cette théorie, un cube doit se comprendre comme un objet mathématique tridimensionnel. Il s’obtient en superposant D matrices carrées (D-D) de M(D, K). K est un ensemble quelconque.

Bien que le concept de cube exhibe une analogie formelle claire avec celui de connexion, il convient de ne pas systématiquement confondre ces deux concepts.

Dans les documents développant les idées de cette théorie, l’ensemble des cubes de rang D et à entrées dans K est conventionnellement noté par un signe plus au milieu d’un carré suivi de la parenthèse (D, K).

Un cube A est symétrique chaque fois que toutes ses entrées vérifient la relation :

A^a_cb = A^a_bc

Un cube A est antisymétrique chaque fois que toutes ses entrées vérifient la relation :

A^a_cb + A^a_bc = 0

Un cube A est réduit chaque fois que toutes ses entrées vérifient la relation :

A^a_cb = A^b_ca

Un cube A est anti-réduit chaque fois que toutes ses entrées vérifient la relation :

A^a_cb + A^b_ca = 0

La combinaison des deux propriétés précédentes ne peut résulter qu’en trois types de situations :

-        le cube est symétrique et réduit

-        le cube est antisymétrique et anti-réduit

-        le cube est nul

Hypercube

Un hypercube est l’objet mathématique obtenu par généralisations aux dimensions supérieures à trois du concept de cube.

Exemple : Les composantes du tenseur de courbure de Riemann peuvent être rassemblées dans un hypercube de dimension quatre.

Produit tensoriel déformé

C’est un produit tensoriel classique qui a été déformé par un cube, par exemple A :

Ä_A(…, …).

La déformation induite par l’action d’un cube A modifie la définition du produit tensoriel classique. Elle devient :

Ä_A(p, q) = A^a_bc.p^b.q^c.e_a

Les e_a pour a = 0, 1, …, D - 1 sont les vecteurs de la base canonique à laquelle les vecteurs de l’espace E(D, K) sont rapportés. Les vecteurs p et q sont deux éléments quelconques de E(D, K).

Produit tensoriel déformé et alterné

Sa définition s’inspire de celle du produit extérieur telle qu’elle est par exemple exposée dans [01]. Pour autant, il convient de ne pas les confondre. En effet, un produit tensoriel déformé et alterné est une opération interne sur E(D, K). Ce que n’est pas le produit extérieur.

Ainsi, par définition :

Ù_A(p, q)

=

Ä_A(p, q) - Ä_A(p, q)

=

A^a_bc.(p^b.q^c – q^b.p^c).e_a

Un produit tensoriel déformé et alterné est bâti sur un cube quelconque.

Produit de Lie déformé

Par convention dans cette théorie, un produit de Lie déformé est la moitié d’un produit tensoriel déformé et alterné bâti sur un cube antisymétrique.

Les décompositions (divisions) des produits de deux vecteurs éventuellement déformés

Les éléments d’une décomposition

Les ingrédients intrinsèques du problème mathématique consistant à se poser la question (E), c’est-à-dire à se demander s’il existe une ou plusieurs paires (z, [P]) de E(D,K) x M(D,K) telles que :

|Ä_A(p, q) > = [P].|q> + |z>

Î E*(D, K)

… sont : le cube A, la cible et le projectile.

La partie principale d’une décomposition est la partie matricielle [P] d’une paire (z, [P]) solution de la question posée. Elle est un élément de M(D, K).

La partie résiduelle d’une décomposition est la partie vectorielle z d’une paire (z, [P]) solution de la question posée. Elle est un élément de E(D, K).

Les types de décompositions

Une décomposition est triviale lorsque sa partie résiduelle est nulle : z = 0.

Une décomposition est non-triviale lorsque sa partie résiduelle n’est pas nulle.

Les méthodes de décomposition

Une méthode mathématique permettant la découverte des solutions de la question posée avec la seule aide des ingrédients intrinsèques (cf. ci-dessus) est dite intrinsèque.

Une méthode mathématique permettant la découverte des solutions de la question posée avec l’aide d’autres ingrédients que ceux qui lui sont intrinsèques (cf. ci-dessus) est dite extrinsèque.

Une méthode mathématique permettant la découverte des solutions de la question posée dans un espace de dimension D + 1 lorsque les solutions sont déjà connues en dimension D est dite « de la montée à la dimension supérieure ».