Cosmologie quantique

 

1. Introduction.

Les théories de gravitation quantique tentent d’harmoniser la théorie de la gravitation d’A. Einstein [01] avec les façons de promouvoir la réalité physique défendues par l’approche quantique [02]. Ceci explique par exemple que les travaux pédagogiques expliquant la théorie des boucles quantiques commencent en rappelant les bases de la mécanique classique puis les formulations canoniques de la théorie de la relativité générale [03 ; §2.1].

2. De la multiplicité des approches menant aux célèbres équations de la relativité générale.

Si la démarche semble logique, il n’en demeure pas moins qu’elle est le fruit d’un parti pris s’appuyant sur une des interprétations possibles de la théorie d’A. Einstein.

Peut-on retrouver les équations de la relativité par d’autres voies que celles suivies par Einstein ? La réponse est définitivement : oui, et des illustrations concrètes de cette affirmation se trouvent déjà dans la littérature scientifique. En un peu plus d’un siècle, les approches menant aux célèbres équations du champ n’ont pas manqué. Chacune d’elles éclaire ces équations d’un regard particulier révélant une des facettes de l’œuvre initiale.

Parmi ces éclairages pertinents, il faut bien évidemment noter (i) le travail essentiel d’E. Cartan [04] basée sur les formes différentielles, (ii) la dynamique des enveloppes [05] qui est équivalente du point de vue de la dynamique à la formulation dite ADM de la théorie de la relativité, possède l’invariance de Weyl[1], et plus récemment (iii) l’intégration des équations du champ au sein des algèbres de Clifford [07], [08]. Cette dernière donne naissance à des techniques utilisables dans le cadre de la géométrie algébrique (ou de l’algèbre géométrique) et offre l’avantage de redécouvrir ou de permettre de découvrir des solutions de la théorie générale de la relativité d’une manière plus aisée, facilitant les calculs.

Car une question pertinente et encore ouverte aujourd’hui après un siècle de recherche est bien : « Existe-t-il une route logique permettant d’expliciter toutes les solutions des équations d’A. Einstein de manière systématique ? » Comme le démontre bien la thèse [09], nous sommes apparemment encore loin d’être en mesure d’y parvenir.

En résumé, du point de vue de la logique formelle, il n’y a donc pas de raison justifiant de ne pas considérer les regards alternatifs comme point de départ pour une théorie de gravitation quantique.

Que faut-il quantifier ?

Il n’est pas non plus insensé de se poser la question de savoir ce qui est quantifié dans la nature. Les acquis du passé, [02], suggèrent fortement qu’il doit s’agir des énergies ; mais est-ce l’unique réponse possible ? Pourquoi pas les vitesses, par exemple ? Car, tout comme l’énergie, la vitesse n’a aucun caractère absolu et je ne peux m’ôter de l’esprit un vieux cours de physique consacré aux effets stroboscopiques.

La logique interne de la théorie de la gravitation à boucles mène à quantifier éléments de longueur, surfaces et volumes [03 ; § 3.2].

3. De la multiplicité des situations physiques impliquant des produits tensoriels déformés.

J’apprends la physique pour mon plaisir et au travers de la thématique des produits tensoriels déformés. Pour des motifs d’ordre pédagogique, la mouture covariante de la loi de Lorentz [10] a servi de fil conducteur à ma progression.

Ce choix appelle cependant deux types d’auto-critiques :

  • Premièrement, il est discutable de vouloir fonder une théorie globale sur une loi particulière ; sauf à penser que cette dernière aurait un caractère générique et universel.
  • Deuxièmement, il existe d’autres produits tensoriels déformés intéressants à scruter au sein de l’arsenal des théories physiques actuelles.

Concernant le premier aspect, rien ne garantit que tous les phénomènes physiques soient des particules ponctuelles, ni même qu’ils se meuvent en respectant exactement cette loi. L’étude réalisée dans [11] met bien l’accent sur cet aspect-là.

Pour illustrer la seconde critique implicite liée au choix fait jusqu’à ce jour, je citerai la formulation du champ électrique à laquelle parvient la théorie de la gravitation quantique à boucles [12 ; p. 18, (1.16)] :

E = ½. ti. (Eai . eabc). (dxb ∧ dxc) = ½. ti. {⊗B(dx, dx)}i ; B ≡ Bibc = Eai. eabc

Mais je citerai aussi, et potentiellement beaucoup plus intéressant par rapport au but que je poursuis, la formulation de la théorie de la relativité générale due à Weyl et rappelée brièvement dans [13 ; p. 719] :

Γμ = Γμαβαβ

Où : (i) le symbole Gamma ne représente plus ici ceux qui avaient été introduits par Christoffel mais les composantes de la connexion de spin utilisée par Weyl ; et où : (ii) les gammas sont les matrices de Dirac. Je noterai au passage que, dans ce cadre-là (faisant usage du concept des vierbein Vm), il vient également :

Γμν = ¼. Tr(Vμ. Vν) ; Γμν = -¼. Rαβμν. Vα. Vβ = ∂νΓμ - ∂μΓν + [Γμ, Γν]

Bref, j’en déduis que :

  • la notion de produit tensoriel déformé peut se développer dans de nombreux domaines de la physique.
  • La recherche de modèles théoriques cherchant à éliminer la difficulté entourant les singularités laissées derrière elle par la théorie de la relativité générale (A. Einstein) [01] n’est pas récente. L’approche citée dans [13] (le vide est un superfluide) appartient à cette catégorie de modèles. En 1976 (date de parution de cet article), la communauté scientifique a conclu à la non-renormalisabilité de la relativité générale ; et l’idée selon laquelle une modification de cette dernière préservant la covariance pourrait permettre de sortir de cette impasse apparaît -voir le très instructif historique proposé dans [14 ; Annexe B.2, pp. 288-301]. Il faut sans doute aussi noter ici les travaux récents [15], [16] ressuscitant les démons entourant un éventuel non-respect de la covariance au sein de la théorie de la gravitation quantique à boucles. Un sujet qui semblait pourtant traité dans [17].

 

4. Les choix spécifiques à la théorie de la question (E).

Devant la multitude des chemins possibles, je n’ai pour l’heure rien trouvé de mieux comme phare susceptible de guider ma progression que la procédure proposée par Dirac ; elle est par exemple, rappelée dans la thèse [03 ; §2.2]. Dans ce cadre-là, il convient de découvrir et définir deux algèbres, l’une étant une algèbre de fonctions et, l’autre, une *algèbre.

A ce stade, l’univers des possibles est tellement grand que seule l’intuition peut souffler quelques pistes utiles à l’oreille.

Une exploration assez ancienne m’a permis de définir une C-*algèbre sur les espaces munis d’un produit tensoriel déformé (PTD ; par exemple par les cubes de Christoffel). En supposant arbitrairement que ce soit « la bonne », il resterait donc à trouver l’ensemble de fonctions ad hoc. Ici encore l’intuition pousse à se pencher sur les fonctions de dérivation. En fait, la progression suivie au fil de l’eau depuis une quinzaine d’année me mène actuellement à me pencher sur la manière dont j’ai réussi à introduire le tenseur de Riemann dans la théorie des PTD [ISBN 978-2-36923-143-1 ; § 3, pp. 32-45].

Du raisonnement mené, je tire deux idées :

(i) les PTD importants semblent avoir le formalisme générique ⊗A(q1, Dq2) où A est n’importe quel cube (4-4-4) déformant et où D représente la dérivée totale covariante dans n’importe quelle connexion symétrique ;

(ii) lorsque la fonction H(q2) -dont le développement limité à l’ordre deux inclus est comparable avec les scalaires associés à ces PTD génériques- est continue, alors la formule obtenue semble introduire une sorte de crochet ; ce fait, s’il s’avère exact, tombe à pic dans une démarche de quantification... 

Bibliographie :

[01] Einstein, A. : Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie; Annalen der Physik, vierte Folge, Band 49, (1916), N 7.

[02] Mécanique quantique I; Cohen-Tanoudji, B. Diu et Fr. Lalöe; 1977 (2 tomes).

[03] A review on Loop Quantum Gravity; a thesis submitted for the degree of MSc in Mathematical and Theoretical Physics, Kellogg College, Oxford University; arXiv:1808.01252v1 [gr-qc], 3 August 2018.

[04] Cartan, E. : Sur les équations de la gravitation d’Einstein, J. Math. pures et appl. 1(1922), 141–203 [Œuvres compl. III, 1, 549–612].

[05] (a) : A shape dynamics tutorial; arXiv : 1409.0105v2 [gr-qc], 29 May 2017; (b) : Frequently asked questions about shape dynamics; arXiv: 1211.5878v2 [gr-qc], 30 November 2013.

[06] Cartan, E.: Les espaces métriques fondés sur la notion de d'aire ; « Actualités scientifiques et industrielles' », numéro 72, exposés de géométrie publiés sous la direction de monsieur Elie Cartan, membre de l'institut et professeur à la Sorbonne; Hermann et Cie, éditeurs, Paris, 1933, 46 pages (partie centrale de l'exposé).

[07] Girard, P. R.: Quaternions, algèbre de Clifford et physique relativiste; \copyright 2004, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, tous droits réservés. Version anglo-saxonne : © 2007, ISBN 978-3-7643-7790-8 Birkhäuser Verlag AG, Basel - Boston - Berlin, 176 pages.

[08] Geometric algebra techniques for general relativity; arXiv:gr-qc/0311007v1, 3November 2003.

[09] Nguyen, T-C. : Construction de solutions pour les équations de contraintes en relativité générale et remarques sur le théorème de la masse positive ; thèse soutenue pour obtenir le grade de : Docteur de l'université François – Rabelais, Tours, Discipline/ Spécialité : Physique, présentée le 11 décembre 2015.

[10] Lichnerowicz, A. : Théories de l’électromagnétisme et de la gravitation (1955).

[11] The Motion of Point Particles in Curved Spacetime; Living Rev. Relativity 14, (2011), 7. URL: http://www.livingreviews.org/lrr-2011-7.

[12] Sardelli, F. : Aspects de la gravitation quantique à boucles : la représentation polymère, la jauge temporelle et lien entre approches covariante et canonique ; thèse soutenue pour obtenir le grade de : Docteur de l'université François – Rabelais, Tours, Discipline/ Spécialité : Physique, présentée le 12 décembre 2011.

[13] Sinha, K.P., Sivaram, C., Sudarshan, E.C.G., The superfluid vacuum state, time varying cosmological constant, and non-singular cosmological models; reprinted from Foundations of physics, Vol. 6, N°6, December 1976.

[14] Rovelli, C. : Quantum Gravity, draft version, December 30, 2003; on Wikipedia.

[15] Critical evaluation of common claims in loop quantum cosmology; arXiv:2002.05703v1[gr-qc] 13 February 2020.

[16] A no-go result for covariance in models of loop quantum gravity; arXiv: arXiv:2007.16066v1, 30 July 2020.

[17] Rovelli, C. and Vidotto, F.: Covariant Loop Quantum Gravity, an elementary introduction to quantum gravity and spin-foam theory; ISBN 9781107069626, December 2014 (available for institutional purchase via Cambridge Books Online).

 

[1] et qu’il peut être tentant de vouloir relier un jour (sujet d’étude, si ce n’est déjà fait) à une autre exploration de Cartan [06].

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event Date de dernière mise à jour : 07/09/2020

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