Décomposition d'Helmholtz

 

Document ISBN 978-2-36923-098-4, v1, 29 pages, 25 octobre 2020, en consultation sur Google Drive - comments.

Dans une série de documents précédents, j’ai exploré formellement le concept de dérivation et focalisé mon attention sur la possibilité de remplacer la réalisation d'une dérivation par l’utilisation de matrices ad hoc.

Dans ce nouveau document, je pousse mon intuition jusque dans les moindres détails en étudiant un problème simple se résumant à la question suivante : « Peut-on remplacer le calcul des variations ordinaires d’ordre un d’une fonction vectorielle f par le calcul d’un produit vectoriel classique ? » Plus précisément : peut-on, et si oui quand, écrire :

|df > = T. |dx> = |q x dx + 0(2)>

Pour répondre à cette question, je me sers du fait que les produits vectoriels peuvent être déformés, par exemple par la topologie sous-jacente, et je démontre à l’aide de l’utilisation concomitante des méthodes de décomposition (intrinsèque et extrinsèque) l’existence d’une réponse positive à la question posée lorsque la polynomiale L(q) intrinsèquement associée au produit vectoriel ci-dessus est propre, continue, de classe C2 mais n'est pas proportionnelle à la polynomiale qui aurait été associée de manière extrinsèque à ce même produit.

J’analyse ensuite ce résultat à l’aune du théorème de décomposition dit d’Helmholtz (voir lien externe Wikipédia) et, surtout, je tente d’étendre le nombre de situations où cette logique mathématique impliquant les méthodes de décomposition permet encore de répondre à la question posée initialement.

© Thierry PERIAT.

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event Date de dernière mise à jour : 25/10/2020

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