Entre les produits

 

Le docuement :Isbn 110 3v3Isbn 110 3v3 (391.11 Ko)

Ce document étudie trois items auxquels il est désormais en mesure de donner les premiers éléments de réponse :

1.  Comment peut-on transcrire un produit tensoriel déformé en un produit de Lie déformé équivalent ?

2.   Que se passe-t-il autour de zéro ?

3. Les décompositions extrinsèque et intrinsèque peuvent-elles livrer les mêmes décompositions ?

Les lecteurs (lectrices) assidu(e)s de l’exposé de la quête exposée sur ce site ont eu l’occasion de rencontrer les thématiques abordées ci-dessus :

  • La première peut s’illustrer au travers d’une discussion dans les espaces de dimension D = 4 concernant la loi de Lorentz-Einstein. En effet, nous savons aujourd’hui que la théorie de la relativité générale (A. Einstein) peut tout aussi bien s’écrire avec une connexion de spin (introduisant des cubes antisymétriques) qu’avec une connexion de Levi-Civita (utilisant les cubes symétriques contenant les symboles de Christoffel de la seconde espèce). Il doit donc fort probablement exister des relations de passage entre ces cubes. Mais lesquelles ?

  • L’antisymétrie naturelle de n’importe quel produit de Lie déformé (tel qu’il est défini au sein de la théorie exposée sur ce site ; voir la sémantique) permet de considérer l’un quelconque d’entre eux, son opposé additif et ce qui se passe autour de leur addition, c’est-à-dire autour de zéro.

Cette partie de l’exploration révèle quelques relations intéressantes entre les décompositions de deux produits opposés.

Une hypothèse de complétude permet d’aborder la singularité et met en exergue ce qui pourrait bien être une nouvelle définition des dérivations de la fonction exponentielle.

  • Les premiers frémissements de la théorie, réalisés dans les espaces de dimension trois, avaient montré un hiatus incompréhensible entre la partie principale obtenue par l’usage de la méthode intrinsèque et celui livré par la méthode extrinsèque.

Quelques travaux intermédiaires avaient permis de comprendre comment certaines contraintes autorisaient un ajustement des résultats, in extenso : faisaient disparaitre ce hiatus. Voir par exemple à ce sujet le document : « Quelques propriétés intéressantes des champs de gravitation » et celui justifiant de faire passer la discussion sur E(3, C) en introduisant les bi-spineurs de Cartan et la question des surfaces immergées.

Cette nouvelle excursion théorique explique comment les deux résultats (extrinsèque et intrinsèque) pourraient être axiomatiquement rendus égaux de façon systématique dans les espaces mathématiques de dimension D quelconque supérieure à trois.

Même si les relations proposées tout au long de cette étude ne constituent encore qu’un premier jet, elles ouvrent enfin la porte d’une discussion plus générale autour du concept de produit tensoriel déformé (à faire).

© Thierry PERIAT

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Date de dernière mise à jour : 06/06/2020