La dimension trois

1) Données élémentaires

Le document téléchargeable Isbn 028 1 am 20191022Isbn 028 1 am 20191022 (319.18 Ko) expose les définitions et concepts nécessaires au traitement de la problématique de la division des produits tensoriels déformés.

 

2) La méthode intrinsèque dans les espaces de dimension trois

Le document téléchargeable: ISBN 978-2-36923-036-6  (lien externe Zenodo.org) expose une technique mathématique visant à découvrir le formalisme des parties principales des décompositions (divisions) des produits tensoriels déformés réalisés dans les espaces vectoriels de dimension trois.

 

Cette méthode constitue un morceau d’algèbre impressionnant (par sa taille). Elle s’articule au départ autour d’un objectif simple : diviser l’image duale d’un produit vectoriel déformé en la caractérisant par une paire ([partie principale], partie résiduelle) dans M(3, C) x E(3, C) sans faire appel à d’autres ingrédients qu’une matrice déformante [A] de M(3, C) et un projectile de E(3, C) (voir la sémantique).

Le théorème initial démontre que le problème posé ne se dissocie pas de l’existence d’une polynomiale de degré deux écrite en fonction des composantes locales du projectile. La partie principale de la division (j’utilise surtout le mot décomposition) peut être formalisée lorsque cette polynomiale est propre (elle possède un vecteur singulier). Pour autant, la méthode ne dit rien sur la partie résiduelle de la décomposition.

3) La découverte d’une autre méthodologie applicable dans toutes les dimensions

Devant cette insuffisance insupportable, je me suis senti obligé de découvrir une méthode plus complète.

Je ne sais comment l’idée a germé en mon esprit -sans doute à cause de réflexions sur la notion d’incertitude sur les mesures physiques (W. Heisenberg déjà)- mais j’ai fini par imaginer que le mathématicien devrait accepter, lui aussi, le principe que la recherche des solutions aux problèmes qu’il se pose ne livre que des réponses approximatives.

A vrai dire, cette intuition n’est pas de moi et il y a déjà fort longtemps que certaines solutions ne sont atteintes que par réitération d’algorithmes.

La méthode extrinsèque part du principe que nos calculs s’effectuent dans un contexte, par exemple géométrique, et que celui-ci doit peu ou prou influencer les résultats des opérations effectuées, en particulier donc : les divisions aussi.

C’est ainsi que naît la méthode consistant à vouloir comparer (i) un scalaire associé avec une décomposition approximative -mais la plus exacte possible- d’un produit tensoriel déformé et (ii) un développement limité à l’ordre deux d’une polynomiale de degré deux. Elle livre rapidement le formalisme générique des décompositions ; quand la comparaison est possible. Un exposé et une illustration de cette manière de pratiquer sont donnés dans le document revisitant les premières relations de Christoffel.

Là aussi, rien n’est parfait. Si l’annulation de l’erreur d’approximation sur une décomposition annule bien de facto son scalaire associé, l’inverse est faux. Il faut donc toujours accompagner la réalisation de la méthode extrinsèque d’un test logique. Enfin, un autre mystère surgit avec l’usage de la méthode extrinsèque. Pour un produit vectoriel déformé donné, elle ne fournit pas a priori la même partie principale que la méthode intrinsèque !

Retour vers la page : "Méthodes mathématiques"

event Date de dernière mise à jour : 23/09/2020

expand_less