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Les produits

et leurs déformations

Produit tensoriel

A découvrir dans n’importe quel bon livre de mathématiques ou au travers du lien externe sur Wikipédia – FR

L’opérateur est noté Ä(…, …)

Projectile

Premier argument:  Ä(Projectile, …)

Cible

Second argument: Ä(…, Target)

Cube

Au sein de la théorie des produits déformés, un cube doit se visualiser comme un objet mathématique tridimensionnel dont les éléments sont choisis arbitrairement dans un ensemble K et disposes au niveau des nœuds d’une structure crystalline de type cubique. Il peut donc être compris comme la superposition de matrices carrées dans l’une quelconque des trois directions spatiales. Bien que ce concept contienne une analogie avec celui de connexion, il ne devrait a priori pas systématiquement être confondu avec lui.

Au sein de la théorie des produits déformés, un cube doit se visualiser comme un objet mathématique tridimensionnel dont les éléments sont choisis arbitrairement dans un ensemble K et disposes au niveau des nœuds d’une structure crystalline de type cubique. Il peut donc être compris comme la superposition de matrices carrées dans l’une quelconque des trois directions spatiales. Bien que ce concept contienne une analogie avec celui de connexion, il ne devrait a priori pas systématiquement être confondu avec lui. 

Symétrique

Un cube est symétrique quand : Aijk = Ajik


Antisymétrique

Un cube est antisymétrique quand :

Aijk + Ajik = 0


Réduit

Un cube est réduit quand : Aiki = Aijk


Anti-réduit

Un cube est anti-réduit quand : Aijk + Aikj = 0


Symétrique et réduit

Antisymétrique et anti-réduit

Nul

Hypercube

Un hypercube est une généralisation du concept de cube aux espaces dont la dimension est plus grande que trois.

Produit tensoriel déformé

Un produit tensoriel déformé est un produit tensoriel classique qui a été déformé par un cube.

Les cubes déforment le produit tensoriel Classique agissant sur les vecteurs de l’espace E(D, K) parce qu’ils en modifient la définition de la manière suivante :

ÄA(a, b) = Aijk. ai. bj. ek

Où les ek sont les vecteurs de la base canonique de E(D, K).


Produit extérieur déformé

Inspiré par la définition historique du produit extérieur, le produit extérieur déformé est tel que :

ÙA(a, b)

=

ÄA(a, b) - ÄA(b, a)

=

Aijk. (ai. bj - bi. aj). ek

Il n’est pas nécessairement bâti sur un cube antisymétrique.


Produit de Lie déformé

Un produit de Lie déformé vaut la moitié d’un produit extérieur déformé bâti sur un cube antisymétrique.

Les éléments d’une décomposition

Les ingrédients intrinsèques

Projectile, cible et cube sont les éléments intrinsèques d’un problème mathématique baptisé “La question (E)” qui s’interroge sur l’existence de paires ([P], z) telles que :

A(a, b) > = [P]. |b > + |z > Î E*(D, K)


La partie principale

([P], …) est la partie principale d’une décomposition ([P], z). C’est un élément de M(D, K).

Partie résiduelle ou résidu

(…, z) est la partie résiduelle de la  

décomposition ([P], z) ; c’est un élément de E(D, K).

Triviale

Toute partie principale d’une décomposition qui est telle que :

A(a, b) > = [P]. |b > + |0 >

est dite triviale.

Non-triviale

Une décomposition dont le résidu n’est pas nul est non-triviale.

Méthodes de décomposition

Intrinsèque

Une méthode mathématique permettant la découverte de décompositions avec le seul renfort des ingrédients intrinsèques (cf. ci-dessus) est dite elle-même intrinsèque.

Exemple : Application aux produits vectoriels déformés.

Extrinsèque

Une méthode mathématique permettant la découverte de décompositions avec l’aide d’autres ingrédients que les ingrédients intrinsèques (cf. ci-dessus) est dite extrinsèque.

Dite des poupées russes

Le nom de la méthode est inspiré d’une célèbre figurine du folklore russe et ce nom lui vient du fait qu’elle cherche à découvrir les décomposition dans un ensemble E(D, K) alors que celles-ci sont déjà connues dans l’ensemble immergé E(D - 1, K).

 
Tous ces items sont développés dans le documents : "Données élémentaires":

 

© Thierry PERIAT

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Date de dernière mise à jour : 04/06/2020