LLE-étude approfondie

 

Origine historique, justification et analyses récentes de la loi de Lorentz-Einstein

La loi est introduite dans certains ouvrages académiques récents (ex : [01 ; 2003]) consacrés à expliquer la théorie de la relativité générale d’A. Einstein [02]. Elle y est présentée comme l’illustration type de la manière d’introduire la présence d’un champ de gravitation au sein des équations classiques ; en particulier au sein de celles proposées par Maxwell à la fin du dix-neuvième siècle [03] dans sa théorie de l’électromagnétisme. Plus précisément elle est l’exemple de référence utilisé pour faire comprendre la notion et le rôle de la dérivation covariante (Pour une introduction plus simple à la notion de dérivation en général, voir la page : « Dérivations »).

En réalité, on la retrouve dans des ouvrages en langue française dès 1955, par ex : [04], au demeurant sans aucune justification explicite, ni numérotation. Tout comme si son existence allait de soi.

Il m’aura fallu attendre le mois de février 2019 pour enfin comprendre son origine historique [05] et tout l’avantage à se focaliser sur elle.

Elle n’est « que » le résultat logique de la démarche initiée par A. Einstein avec son article de 1935 [06], consistant à vouloir intégrer harmonieusement les lois de Maxwell dans l’édifice de la relativité générale. Quitte à généraliser encore un peu plus celle-ci (par exemple : en abandonnant la géométrie de Riemann pour une autre géométrie rendant mieux compte de la réalité physique) et à donner aux particules élémentaires une représentation géométrique codifiée.

En d’autres termes, la loi de Lorentz covariante (dite encore de Lorentz-Einstein (LLE)) marque le point de départ de la quête encore en cours et devant mener à l’avènement d’une théorie quantique de la gravitation.

Techniquement, elle est le résultat d’une démarche considérant les particules élémentaires comme des singularités et utilisant la technique dite d’Einstein-Infeld-Hoffmann (EIF) [05 ; p. 206]. Elle permet de rendre compte du comportement des ondes électromagnétiques « évoluant » au sein d’un champ de gravitation (décalage vers le rouge lorsque la géométrie de l’espace-temps est celle de Schwarzschild).

L’ouvrage académique [07 ; 2011] a repris une analyse de cette loi en tentant d’y intégrer des phénomènes relativistes couramment qualifiés d’« effets retards ».

L’approche spécifique de la théorie des produits tensoriels déformés

La théorie des produits tensoriels déformés (alias et plus brièvement : de la question (E) – TQE) ne réanalyse dans un premier temps pas les origines physiques de cette loi. Elle la considère telle qu’elle est, mais avec un regard mathématique focalisant son attention sur la notion de produit tensoriel.

Celui-ci apparait naturellement dans le formalisme de cette loi, sous une forme qu’on peut juger être déformée par le cube des symboles de Christoffel de la seconde espèce.

Quelles que soient les conclusions que tirera le mathématicien sur cette loi à l’aide de cette focale, il devra donc garder en mémoire les rappels historiques énoncés au paragraphe précédent. En particulier il devra prendre soin de ne pas surinterpréter ses résultats.

L’exploration théorique présentée ici aborde les points suivants :

  • L’étude des dérivations (voir en particulier la section 04) a permis de mettre en exergue le rôle particulier des décompositions non-triviales des produits tensoriels (resp. de Lie) déformés ; en particulier de leurs résidus.Ce document illustre au travers de l’exemple de la loi de Lorentz covariante quelques propriétés essentielles des résidus d’une décomposition non-triviale dans les situations physiques théoriques pour lesquelles la géométrie ne dépendrait pas de la vitesse de la particule.
  • La deuxième partie soulève très timidement la question des liens éventuels entre la théorie des produits tensoriels déformés et la notion de tétraèdre.
  • Comme la théorie de la relativité générale se laisse aujourd’hui décrire équivalemment au travers de l’emploi de la connexion de Levi-Civita et de la connexion de spin, la troisième partie du document s’interroge sur les relations permettant la transcription entre deux formulations du terme gravitationnel apparaissant au sein de la loi de Lorentz covariante. L’une des formulations exprime ce terme comme produit tensoriel déformé par le cube symétrique des symboles de Christoffel de la seconde espèce ; la seconde formulation, comme produit tensoriel déformé par le cube antisymétriques des coefficients de la connexion locale de spin.
  • Enfin, l’idée selon laquelle la loi covariante de Lorentz pourrait s’interpréter comme un opérateur différentiel d’ordre deux et déjà exposée grossièrement dans le document présenté sur la page « LLE-Opérateur différentiel » est généralisée. L’analyse des relations obtenues fait apparaitre deux interprétations possibles.

Les thèmes abordés dans ce document mais laissés quelque part sans réponse claire (le lien conceptuel avec la notion de tétraèdre, l’interprétation des transcriptions, la cohérence des diverses formulations obtenues pour le champ électromagnétique, en particulier avec celle issue du document « Einstein versus Heisenberg ») sont approfondis dans d’autres études.

Autres études disponibles

 Pour l’heure la démarche a porté sur les aspects suivants auquel les différentes lignes du tableau ci-dessous renvoient.

La loi de Lorentz Einstein analysée avec le regard de la TQE (ISBN 112-7) : ci-dessus

Les tétraèdres et la réalité (ISBN 097-7)

Précisions sur les liens entre produits tensoriels et produits de Lie déformés (ISBN_... 110-3)

Supraconduction de type II, scénario heuristique (ISBN 143-1)

La loi de Lorentz-Einstein et le principe d’incertitude sur la mesure d’Heisenberg (ISBN..._026-7)

Liste des aspects de la loi de Lorentz Einstein traités avec le regard de la TQE.

© Thierry PERIAT

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Bibliographie

[01] Fließbach, T.: Allgemeine Relativitätstheorie, 4. Auflage, © 2003, 1998, 1995, Spektrum Akademischer Verlag GmbH, Heidelberg, Berlin; ISBN 3-8274-1356-7, 343 pages.

[02] Einstein, A.: Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie; Annalen der Physik, vierte Folge, Band 49, (1916), N 7. (b) Einstein, A. and Minkowski, H.: The principle of relativity; translated in English by Saha, M.N. and Bose, S.N. published by the University of Calcutta, 1920; available at the Library of the M.I.T.

[03] Maxwell, J. C.: A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field; Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1865, 155: 459–512; [[http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/155/459]].

[04} Lichnerowicz, A. : Théories de l’électromagnétisme et de la gravitation

[05] Stephenson, G.: La géométrie de Finsler et les théories du champ unifié ; Annales de l’I.H.P., tome 15, n°3 (1957), p. 205 – 215 ; [[http://www.numdam.org/item?id=AIHP_1957__15_3_205_0]].

[06] A. Einstein, N. Rosen: The particle problem in the theory of relativity; pp. 73-77, physical review, vol. 48, July 1, 1935.

[07] The motion of point particle in curved spacetime; arXiv:1102.0529v3 [gr-qc] 26 September 2011.

event Date de dernière mise à jour : 07/09/2020

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