Dérivations

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Le concept de dérivation appliqué à la notion de produit tensoriel (resp. de Lie) déformé

Le calcul des variations (pentes, accroissements ou baisse des budgets, vitesses et accélérations des objets, etc.) a débuté il y a fort longtemps dans l’histoire humaine. Il n’est pas faux de faire remonter la systématisation de ces préoccupations à Descartes en France et à Leibniz en Allemagne. La manière de concevoir ces calculs a beaucoup évolué depuis l’époque classique. Aujourd’hui, par exemple, le calcul des variations d’une fonction vectorielle au cours du temps peut se voir représenter au travers d’une matrice.

Au départ poussé par une forme insidieuse de paresse, je me suis toujours demandé s’il était possible de remplacer utilement de longs calculs de dérivation par un calcul matriciel. Les documents de ce chapitre exposent les rudiments du débat. Je tente de mettre en œuvre mes idées initiales avec les produits déformés.

Section 01 

La première section revient sur la notion d’élément isotropique introduite par E. Cartan dans sa théorie des spineurs et l'extrapole. Elle l’étend aux produits tensoriels déformés ; en particulier ceux déformés par les cubes des symboles de Christoffel de la seconde espèce. Ce qui permet de revenir quelques instants sur le document consacré aux espaces vectoriels munis d’un tel produit et finalement équipé d’une structure de C*-algèbre.

L’exploration diverge ensuite vers la notion de territoire de Jacobi, les spécificités des produits tensoriels déformés bâtis sur des cubes antisymétriques et les prémisses de la notion de dérivation intérieure.

Section 02 

La deuxième section expose de façon très simple, presque naïve, comment un ensemble de dérivations ordinaires simples peut être remplacé par un élément matriciel.

Section 03 

Cette fois-ci, je prends le problème à bras le corps. Dans un espace de dimension trois, je considère une polynomiale P de degré deux, de classe au moins égale à C2 et j’en calcule le gradient par rapport aux composantes de son argument : un vecteur q1 de E(3, K).

Le formalisme trouvé pour ce gradient suggère une analogie formelle avec la décomposition des produits vectoriels, éventuellement déformés. Je me pose donc ensuite la question de l’existence d’un second élément q2 de E(3, K) dont le produit vectoriel par q1, décomposé non-trivialement, se substituerait au calcul de grad P(q1).

Strictu sensu, l’exploration elle-même aboutit à un échec logique. Mais elle entr'ouvre la porte de réponses positives qui sont apportées dans la quatrième section.

Enfin, elle invite à se pencher à nouveau plus en détail sur le problème des discontinuités. La question des fonctions discontinues a été traitée par Darboux (1875 ; lien externe Wikipédia-FR), Baire (1905) et bien d’autres ensuite. Bien qu’on puisse du coup croire cette thématique des discontinuités inutile et désormais sans intérêt, il apparait que certaines circonstances physiques obligent à considérer des métriques discontinues. J’ai par exemple remarqué un lien formel assez inattendu entre ce type de fonctions et les solutions exactes [01 ; §$117-118] proposées (1922) par E. Kasner (lien externe Wikipédia-FR) pour l’étude de la singularité au sein de la théorie de la relativité générale. Cette remarque établit donc un lien entre les oscillations naturelles survenant à l’approche d’une singularité et l’existence de fonctions discontinues les décrivant. Ce sujet précis sera développé ultérieurement. Une première analyse de cette singularité peut être découverte sur la page : "Entre deux produits".

Section 04 

Les difficultés rencontrées au cours de la troisième section sont levées en concentrant l'étude sur les variations d'une fonction vectorielle. Je suggère à la fin de cette section d'appliquer le raisonnement à l'effet Thirring-Lense.

Section 05

Cette partie de l'étude se penche sur la surjection des dilatations triviales et propose les transformations du groupe de Lorentz pour illustration. 

Section 06 

Cette section se focalise sur les espaces vectoriels munis d'un produit extérieur déformés.en recentrant la discussion sur des cours universitaires francophones. Un foncteur "produit de Lie déformé" est défini. Sa représentation au travers d'une décomposition triviale est donnée. Le concept de dilatation triviale d'un vecteur est réintroduit. Son utilisation en tant qu'outil représentatif d'une dérivation interne est commencée.

Section 07

Décline la bibliographie consultée.

Remarque conclusive

Le sujet du calcul des variations prend tout son relief lorsque j’aborde l’exposé de la GTR2. Ce document est une compilation des divers petits bouts de l'exploration menée depuis 2008 et améliorée au cours de l'année 2019-2020. Bien qu'il soit lien d'être parfait et que bien des aspects traités sont connus depuis fort longtemps, ce travail expose pour la première fois de manière à peu près claire la méthode permettant de concrétiser mon souhait initial : substituer le produit d'une matrice par un vecteur au calcul des dérivations opérées sur ce vecteur. Une étape importante y est donc franchie même si elle demande à être reformulée de manière plus générale et abstraite.

© Thierry PERIAT

 

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event Date de dernière mise à jour : 23/09/2020

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