L-élément-de-longueur-riemannien.

Titre : Produits vectoriels déformés, spineur d’E. Cartan et paramétrisation d’Euler.

Auteur : © Thierry PERIAT.

Immatriculation : ISBN 978.2.36923-073-1, EAN 9782369230731.

Langue : FR.

Nombre de pages : 26.

Date de publication : 31 mars 2019.

Document : Isbn 073 1 spineurs fr 20190329Isbn 073 1 spineurs fr 20190329 (471.19 Ko).

Le document  sur zenodo.org (lien externe).

Commentaires.

Mesurer en général, mesurer les longueurs en particulier, voilà une très ancienne activité humaine. De Pythagore à Riemann et ses successeurs, la compréhension de ce concept a connu bien des évolutions. La forme des objets dont on mesure les dimensions joue, à n’en pas douter, un rôle déterminant dans la construction de la valeur qui va être obtenue. Riemann, justement, l’a fort bien symbolisé dans sa formulation de l’élément de longueur incorporant les coefficients du tenseur métrique :

(ds)2 = gab. dxa. dxb

Dans une analyse focalisant son attention sur les espaces de dimension quatre (D = 4), la théorie étudiant les décompositions des produits tensoriels déformés par des cubes antisymétriques, est en mesure de révéler un certain nombre d’informations implicitement contenues dans l’expression riemannienne. Cette affirmation se fonde sur :

  • le constat évident que l’élément de longueur riemannien est une forme quadratique (parfois affublée du qualificatif de fondamentale) se laissant toujours décomposer en une forme polynomiale de degré deux écrite en fonction de l’élément spatial dx ;
  • le théorème initial établi au cours de la mise au point de « la méthode intrinsèque ».
  • un raisonnement en quelque sorte inverse à celui ayant mené au dit théorème : toute forme polynomiale de degré deux écrite en fonction des trois composantes spatiales signe l’existence potentielle d’un produit vectoriel classique déformé par un élément de M(3, K = R ou C, selon l’environnement dans lequel la discussion mathématique est conduite) et éventuellement décomposé de façon non-triviale.

Le document présenté sur zenodo.org présente de manière semi-naïve les premiers résultats de cette analyse ; elle met en évidence :

  • un lien au départ insoupçonné entre la géométrie euclidienne tridimensionnelle classique et les bi-spineurs d’E. Cartan ;
  • comme conséquence du point précédent, une relation logique avec la notion d’objets immergés et une structure d’algèbre de Lie pour ces objets ;
  • la possibilité pour les parties principales des décompositions non-triviales de représenter la géométrie spatiale locale à un instant donné ; ce qui suggère, en faisant appel à la notion de métrique générée par les aires en évolution (encore un travail dû à E. Cartan), l’opportunité d’établir un lien formel avec « la notion de propagateur », ici de Feynman pour les photons.

Tous ces points demandent bien évidemment à être approfondis de façon professionnelle (à vous de jouer si le jeu en vaut la chandelle). Ils démontrent néanmoins et dès à présent les potentialités de l’usage de la méthode intrinsèque dans le cadre de la physique.

© Thierry PERIAT, le 30 mai 2022.

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Date de dernière mise à jour : 22/06/2022

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