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Méthode-extrinsèque

Titre : Méthode extrinsèque de décomposition des produits vectoriels déformés.

Auteur : © Thierry PERIAT.

Immatriculation : ISBN 978-2-36923-006-9, EAN 9782369230069.

Nombre de pages : 14.

Version : 1.

Date de parution : 13 septembre 2022.

Document : en cliquant sur le lien.

Nom du fichier : Isbn 973 2 36923 006 9 v1 periat

Taille : 361.72 Ko

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Une autre manière d'aborder la question des décompositions des produits tensoriels.

 Un produit tensoriel déformé est supposé être défini sur un espace vectoriel E(D, K). On se pose à nouveau la question de savoir comment le décomposer/diviser ; éventuellement non trivialement (voir la page « sémantique » pour comprendre la signification des mots).

Soit E(D, K) un espace vectoriel de dimension D bâti sur K et équipé d’une forme fondamentale non dégénérée, représentée par la matrice inversible [B] de M(D, K). Cette forme peut servir à définir un produit scalaire et elle permet le calcul des quantités :

<a|.{[B].|a>}

Le contexte mathématique fait apparaître deux types de problèmes.

 « La question (E) inverse » 

Son existence se justifie par le raisonnement suivant. La mise au point de la méthode intrinsèque a permis d’énoncer un théorème initial.

Celui-ci stipule que l’existence d’une décomposition est toujours associable avec celle d’une polynomiale de degré deux écrite en fonction des composantes du projectile.

Par conséquent, chaque fois qu’apparaît une polynomiale de degré deux dans un problème mathématique, il semble fondé de se poser la question inverse consistant á se demander si cette polynomiale signe la présence de la décomposition non-triviale d’un produit vectoriel déformé.

« Les scalaires associés».

Toute décomposition d’un produit déformé fournit une forme bilinéaire ; celle-ci est quadratique lorsque la décomposition est triviale. Chaque forme bilinéaire impliquant des éléments d’un espace vectoriel de dimension deux est une conique du plan ; par extension du langage, elle est un conoïde lorsqu’elle implique des éléments d’un espace vectoriel de dimension trois.

Un produit tensoriel déformé puis décomposé s’écrit génériquement :

|⊗A(a, b)> = [P].|b> + |z>

La nature du cube (D-D-D) A ne joue aucun rôle (in extenso : il est quelconque). Seul compte le fait que l’espace {E(D, K), ⊗A} soit également doté d’un produit scalaire non-dégénéré.

Soit <…, …>[B] ce produit de E(D, K) x E(D, K) vers K défini par la matrice carrée (D-D) inversible [B] ; |B| &neq; 0.

Ce contexte suffit à définir deux polynomiales (dites scalaires associés) ; à savoir le scalaire associé avec le projectile a (voir la sémantique) :

s(a) = <a, |⊗A(a, b)> - [P].|b> + |z>>Id3

Et le scalaire associé avec la cible b :

s(b) = <b, |⊗A(a, b)> - [P].|b> + |z>>Id3

La méthode extrinsèque consiste à comparer cette forme bilinéaire avec une autre qui lui soit la plus semblable possible..

Illustration graphique de l'idée.

Soit s(b) le scalaire associé à la cible b. Il pourrait arriver que la représentation de ce scalaire corresponde à une ellipse (en bleu).

Ellipse 1

La méthode extrinsèque consiste à « essayer » de faire coïncider au plus juste cette ellipse avec le développement limité d’une fonction continue f(b) :

f(b) = f(0) + <Gradbf(0), b>Id3 + ½. <b|.{Hessbf(0).|b>} + 0(3)

Il pourrait arriver que la représentation de ce développement limité corresponde à une ellipse (en rouge). La superposition des figures se laisse grosso modo représenter par :

Ellipse 2Cette illustration fait clairement comprendre que la méthode extrinsèque ne peut être qu’approximative ou, a minima, elle fait comprendre que les trois conditions (une par degré) résultant du fait de poser l’égalité f(b) = s(b) réalisent une sorte de forçage.

Quelques caractéristiques.

Avantages

La démarche livre toujours des résultats.

  • Ces résultats sont complets, in extenso ils précisent les arguments des paires ([P], z), ce qui la distingue positivement de la méthode intrinsèque.
  • La méthode fonctionne quelle que soit la dimension D ; en particulier si D = 3.
  • La méthode fonctionne quelle que soit la nature du cube déformant A ; en particulier s’il est antisymétrique.

Inconvénients

  • Il convient de toujours l’accompagner d’une analyse logique de cohérence. En effet, une réponse affirmative à l’interrogation précédente (la polynomiale est un développement limité) correspond seulement à l’existence de trois circonstances logiques. Une seule d’entre elles signe la réalisation effective d’une décomposition non-triviale extrinsèque.
  • Dans le cas où D = 3 et A est antisymétrique, elle livre une paire ([P-extrins.], z) dont la partie principale diffère significativement de celle obtenue par la méthode intrinsèque pour le même produit vectoriel déformé.

Les solutions des décompositions dans les espaces de dimension trois.

  • Elles sont atteintes grâce à une confrontation calibrant les parties principales obtenues par l’une et l’autre méthode.
  • La confrontation peut s’opérer selon deux scénarios : de type I et de type II.
  • Voir par exemple une application du scénario de type I sur la page : "L'absence de neutre".
  • L'autre scénario peut s'utiliser pour réanalyser les solutions de Bowen-York pour le problèmes des données initiales accompagnant la théorie de la relativité générale.

© Thierry PERIAT.

Vers le chapitre exposant des « Méthodes mathématiques ».

Date de dernière mise à jour : 20/11/2022