Quelques rêveries cosmiques cosmoquant-fr

Méthode-intrinsèque

Titre : Décompositions intrinsèques des produits vectoriels déformés.

Auteur : © Thierry PERIAT.

Immatriculation : ISBN 978-2-36923-036-6, EAN 9782369230366

Version : 2.

Nombre de pages : 27.

Date de parution : 14 août 2018.

Document : sur demande.

 

Commentaires.

Dans les espaces de dimension trois, les produits vectoriels déformés du type générique [a, …][A] acceptant une décomposition non-triviale ([P], z) dans M(3, C) x E(3, C) telle que :

|ab> = [P].|b> + |z>

… sont automatiquement associés à une polynomiale de degré deux écrite en fonction des trois composantes du projectile (voir la sémantique), a et notée conventionnellement Λ(a) (C’est en substance l’information contenue dans le théorème initial).

Cette polynomiale coïncide avec le discriminant stratégique du système des trois relations linéaires induit par l’existence présupposée de la décomposition/division :

Λ(a) = |[J]Φ(a) – [P]|

Il existe deux grandes familles de paires ([P], z) selon que :

  1. Cette polynomiale est propre ; ce qui veut dire que les entrées de sa matrice Hessienne [Hess] est inversible et qu’il existe un vecteur singulier s. Dans ce cas, la partie principale [P] de la décomposition non-triviale d’un produit vectoriel déformé s’écrit génériquement :

[P]|A| = {[A]t. [J]}. {½. |A|. [Hess] + [J]Φ(s)} avec |A| = ±1

Où :

  • la matrice carrée de M(3, C), [A], caractérise la déformation apportée au produit vectoriel classique qui sinon est conventionnellement défini par la matrice [J].
  • on peut considérer que la matrice [J] est une représentation d’une racine sixième de l’unité dans l’espace des nombres complexes.
  • la matrice carrée (3-3) [J]Φ(s) est une matrice rotation dont l’argument est le vecteur singulier de la polynomiale propre. A noter au passage qu’elle est également la partie principale triviale de la décomposition de n’importe quel produit vectoriel classique du type :

|s ∧ … > = [J]Φ(s). |…>.

  1. Cette polynomiale est impropre ; ce qui veut dire que sa matrice Hessienne [Hess] n’est pas inversible (|Hess| = 0) et qu’il n’y a pas de vecteur singulier. Dans ce cas, il convient de remarquer que toute paire (a, b) de vecteurs dans E(3, C) vérifie la relation matricielle :

T2(⊗)(a, b) = ½. {T2(⊗)(a, b) + Tt2(⊗)(a, b)} + [J]Φ(a ∧ b)

Son formalisme peut facilement se comprendre comme la formulation limite du noyau de la partie principale obtenue dans le cas des polynomiales propres à condition d’interpréter le produit vectoriel classique a ∧ b comme l’équivalent d’un vecteur singulier et la matrice symétrique T2(⊗)(a, b) + Tt2(⊗)(a, b) comme un ersatz de matrice Hessienne :

[N] = ½. |A|. [Hess] + [J]Φ(s)

Compléments :

Le formalisme des décompositions non-triviales est longtemps resté inexpliqué et en suspens à cause des raisons suivantes :

  • La taille de la démonstration car tout le monde n’a pas la patience de lire de longs textes.
  • La difficulté à la classer quelque part où elle soit utile ; cette imperfection trouve un embryon de réponse en se penchant sur le problème de l’optimisation linéaire (numéro neuf dans la classification de Smale).
  • Son illogisme apparent puisque le projectile impliqué dans le produit vectoriel déformé, ici le vecteur a, n’apparait pas alors qu’une décomposition triviale livre simplement [A]Φ(a). |…>.
  • Son incomplétude : « Quid du reste de la division/décomposition » ?
  • Le peu d’intérêt porté dans les années 2004-2005 par la communauté scientifique à cette démarche algébrique.

Solutions :

Depuis, la méthode extrinsèque de décomposition des produits tensoriels déformés a été proposée et mise au point.

Elle s’applique en particulier aux produits vectoriels déformés.

Les paires ([P], z) qu’elle permet de découvrir peuvent ensuite être calibrées lors d’une comparaison avec celles issues de l’usage de la méthode intrinsèque.

© Thierry PERIAT.

Vers le chapitre exposant diverses « Méthodes mathématiques ».

Date de dernière mise à jour : 14/11/2022