Quelques rêveries cosmiques cosmoquant-fr

Consolidation des fondations

Un problème technique avant de débuter.

 L’idée initiale exposée sur la page présentant la démarche servant de fil conducteur à la théorie des divisions des vecteurs souffre dès le départ d’une imprécision handicapante : « Comment définir le produit vectoriel ou son équivalent dans les espaces vectoriels de dimension deux et dans les espaces vectoriels de dimension supérieure à trois ? »

Eléments de réflexions concernant les espaces de dimension deux.

Vouloir porter l’idée initiale en dimension deux dans l’espace dual E*(2, R) en définissant l’équivalent du produit vectoriel par la convention :

|(2)u Ù (2)v > = u2.v1 - u1.v2 Î R @ E*(1, R)

… ne respecte pas l’état d’esprit dans lequel il est souhaité développer la théorie parce que le résultat de cette opération est un élément d’un espace vectoriel de dimension un, et non pas deux.

Ce constat simple oblige à imaginer une autre stratégie.

La référence à la notion de torsion évoquée au départ de cette discussion pour justifier l’existence vraisemblable d’une division des vecteurs invite à introduire une matrice carrée (2 lignes – 2 colonnes) (2)[P] et un vecteur z de E(2, R) tels que :

|(2)u Ù (2)v > º (2)[P].|(2)v > + |(2)z > Î E*(2, R)

En pratiquant de la sorte, le terme placé à droite du signe de l’équivalence reste bien dans l’espace de départ ; ici : E*(2, R) ; malheureusement, le concept de « produit vectoriel » en dimension deux ne s’en trouve pas pour autant défini !

Cependant, il semble envisageable d’écrire en particulier quelque chose comme :

|(2)u Ù (2)v > = {.|(2)v > + |(2)0 >}Å = u2.v1 - u1.v2 Î R

Dans cette expression, le symbole « oplus » désigne le fait de sommer l’ensemble des composantes du vecteur de E*(2, R) compris entre les parenthèses. Ce faisant, on s’éloigne cependant légèrement de l’état d’esprit initial et le schéma devient :

  (2)u Ù (2)v   

  ®  

.|(2)v > + |(2)0 >  

  ¯  

  

¯

|(2)u Ù (2)v >

®

{.|(2)v > + |(2)0 >}Å

De plus, ce schéma :

  1. fait apparaître que la définition de l’équivalent d’un produit vectoriel dans un espace de dimension deux donne un résultat dans un espace de dimension un ; cet équivalent réalise donc malgré lui une sorte de projection (i) soit dans un sous-espace de l’espace de dimension deux initial ; (ii) soit dans un espace extérieur à l’espace de dimension deux initial dont il pourrait éventuellement être le complément dans une discussion prenant place sur un espace de dimension trois englobant les deux espaces : celui sur lequel on calcule (de dimension deux) et celui portant les résultats (de dimension un). On peut voir là une invitation à construire un lien avec le produit de Hodge « * ».
  2. montre que le résultat de l’équivalent d’un produit vectoriel dans un espace de dimension deux correspond à une décomposition/division particulière – dite triviale.
  3. permet de remarquer au passage que le résultat de l’équivalent d’un produit vectoriel dans un espace de dimension deux correspond au déterminant de la matrice M(u, v) de M(2, R).

Conclusion partielle et provisoire.

Les fondations de la théorie doivent être mieux assises en revisitant les travaux concernant les produits extérieurs, le produit de Hodge et la théorie des déterminants ou en précisant le contexte de la discussion, notamment la notion de produit vectoriel déformé.

© Thierry PERIAT.

Vers la page : Notion de division.

Date de dernière mise à jour : 07/11/2022