Quelques rêveries cosmiques cosmoquant-fr

Peut-on-diviser-les-vecteurs ?

Un exemple simple dans les espaces de dimension trois.

Contre 

L’affirmation lue sur certains forums selon laquelle cette opération ne peut pas exister se base sur deux arguments :

  • Le produit scalaire de deux vecteurs quelconques pris pour faire simple dans l’espace euclidien réel de dimension trois E(3, R), par exemple u et v, donne un scalaire (synonyme ici de : un nombre réel) s :

u.v = s R

  • Nous ne savons pas ce que signifie l’écriture :

 = ?

Pour

L’affirmation précédente doit être commentée et corrigée car les arguments sur lesquelles elle repose peuvent être critiqués de deux manières au moins :

  • Ils omettent l’existence du produit vectoriel :

u v E(3, R)

  • Ils oublient la notion de torsion autorisant à poser dans certaines conditions sur l’espace E*(3, R) qui est le dual du précédent :

|u v > = [P].|v > + |z > E*(3, R)

[P] M(3, R)

Ecriture dans laquelle la matrice carrée (3 lignes – 3 colonnes) [P] dont les « entrées » sont réelles représente alors une rotation tandis que le vecteur résiduel z désigne une translation.

Poursuite des réflexions générales sur la page : consolidation des fondations.

Pour poursuivre ce périple (piste rouge).

Ainsi, en considérant l’exemple de la torsion exercée dans l’espace et en se remémorant le fait que les éléments de M(3, R) sont également une forme particulière de vecteurs, il semble permis de définir la division d’un produit vectoriel par son second argument. Le résultat principal de cette division un peu spéciale étant la matrice [P] et son reste s’identifiant avec le vecteur z. A la limite, il devient possible de proposer l’écriture symbolique :

  ([P], z) M(3, R) x E(3, R)

Toute la « théorie dite de la question (E) » se bâtit (i) autour de la découverte des paires ([P], z) lorsque le produit vectoriel classique est remplacé par un produit tensoriel déformé par un quelconque cube A dont les entrées sont par exemple choisies arbitrairement dans R ; puis (ii) par généralisation de ces idées initiales. Elle introduit pour ce faire des outils mathématiques indispensables, développe des méthodes de décomposition/division des produits tensoriels déformés et, enfin, étudie les structures des espaces munis de ces produits tensoriels déformés.

Dans la théorie de la question (E) on travaille essentiellement avec l’image duale de chaque ÄA(x, y) et on se pose la question de sa décomposition. Un peu à l’instar de ce qui se pratique pour les polynômes on part intuitivement du principe que l’image duale Ä*A(x, y) peut être divisée par b de telle sorte qu’il est possible d’écrire en général (extension formelle de la division euclidienne) :

|Ä*A(x, y)> = [P].|y> + |z>

Dans cette relation, |Ä*A(x, y)>, |y> et |z> sont des éléments de KD tandis que [P] est un élément de M(D, K) donc la représentation d’une application linéaire ou d’une forme quadratique.

 

Définition : Décomposition triviale (voir aussi la sémantique de cette théorie).

Par définition, une décomposition est dite triviale lorsque son résidu z est nul ; elle est caractérisée par une relation du genre :

|ÄA(x, y)> = [P].|y>

… qui invite à analyser la trivialité à l’aune des connaissances acquises sur les anneaux et les idéaux.

KD, s’il est muni de l’addition : x + y = (…, xk, …) + (…, yk, …) = (…, xk + yk = (x + y)k, …), et du produit interne défini par glissement de telle manière que :·y = (…, xk, …).(…, yk, …) = (…, xk.yk, …), hérite de la structure d’anneau commutatif du corps commutatif K.

Pour autant, dans un premier temps, la comparaison avec la notion habituelle d’idéal restera formelle car M(D, K) n’est pas un sous-ensemble de KD. L’ensemble M(D, K) muni de l’addition et de la multiplication habituelle des matrices est un anneau non-commutatif.

© Thierry PERIAT.

Poursuite sur la page : Introduction au concept de décomposition des produits déformés.

Date de dernière mise à jour : 14/11/2022