Quelques rêveries cosmiques cosmoquant-fr

Anti-commutativité

Titre : Données élémentaires sur l‘anticommutativité.

Auteur : © Thierry PERIAT.

Immatriculation : ISBN 978-2-36923-086-1, EAN 9782369230861.

Langue : Française.

Version : 3.

Nombre de pages : 28.

Date de parution : 1 août 2022.

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Nom du fichier : Isbn 978 2 36923 086 1 periat v3

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L’anticommutativité décrit une propriété contre-intuitive de la multiplication définie sur certains ensembles d’objets mathématiques. Soit (E, +, .) un tel ensemble et (a, b) une paire d’éléments dans cet ensemble ; cette propriété se définit au travers de la relation :

a.b + b.a = 0

Les algèbres de Clifford représentent sans aucun doute l’illustration actuelle la plus importante d’ensembles dans lesquels cette propriété existe. Elles sont incontournables dans un parcours universitaire incluant l’apprentissage de la théorie de la relativité générale, de la théorie des spineurs et celui de la mécanique quantique.

Après avoir proposé une classification des ensembles munis d'une multiplication anticommutative, le document se concentre sur la définition d’algèbres de Lie sur des ensembles munis de produits tensoriels déformés.

Il retrouve sans surprise une partie des résultats élémentaires concernant ce sujet ; en particulier lorsque les cubes déformants sont antisymétriques et que le corps de référence de la discussion est muni d’une multiplication commutative.

Après quoi, cherchant à découvrir de nouveaux territoires mathématiques illustrant l’anticommutativité, il se focalise sur le cas des espaces de dimension deux et des produits tensoriels déformés par des cubes symétriques lorsque le corps de référence de la discussion peut être muni d’une multiplication anticommutative. D’où le choix du corps des quaternions.

La démarche permet de préciser le formalisme générique des cubes (2-2-2) symétriques validant l’identité de Jacobi. Elle démontre que certaines parties du corps non-commutatif (H, +, .) des quaternions sont anticommutatives. Elle découvre deux grandes familles de situations permettant la définition d’une algèbre de Lie et montre la présence indirecte de la figure platonique du tétraèdre pour l’une d’elles.

Elle conclut que l’approche devrait permettre de décrire la circulation des rais de lumière dans les régions vides de l’espace-temps.

© Thierry PERIAT.

Retour vers la tête du chapitre consacré aux : « Structures mathématiques ».

Pour découvrir une application physique de cette notion d'anticommutativité dans le cadre de la théorie quantique des champs :

Opérateurs-quantiques

Date de dernière mise à jour : 13/11/2022