Quelques rêveries cosmiques cosmoquant-fr

La-piste-de-l-involution

Titre : Involution sur les espaces vectoriels munis d’un produit de Lie déformé.

Auteur : © Thierry PERIAT.

Immatriculation : ISBN 978-2-36923-115-8, EAN 9782369231158.

Langue : Française.

Version : 2 (v1 sur demande).

Nombre de pages : en cours.

Etat d’avancement au : 6 novembre 2022.

Les difficultés techniques.

Ce document poursuit la recherche des conditions permettant la construction d’une C*-algèbre sur l’espace V = {E(4, C), ⊗A}.

La quête a débuté avec la recherche d’une algèbre involutive. Suivant une procédure classique, elle s’est intéressée à tester dans quelle mesure les quatre propriétés caractérisant ce type d’algèbres étaient vérifiables.

  • La première oblige à ne considérer que les nombres complexes du groupe cyclique U3.
  • La deuxième oblige à travailler avec des cubes déformants anticommutatifs (voir une introduction au concept sur la page intitulée : « anticommutativité ») ; une conséquence importante de cette obligation étant de déplacer la discussion mathématique sur le terrain des produits de Lie déformés.
  • La troisième et la quatrième mettent en évidence l’intérêt de se concentrer sur les stabilisateurs de V.

Ces objets mathématiques ont la particularité de se laisser représenter par des éléments de M(4, C) possédant plusieurs propriétés remarquables :

  • Elles sont des décompositions triviales des produits tensoriels déformés.
  • Elles doivent s’identifier avec la matrice identité de l’ensemble M(4, C) ; ce qui fait que leur déterminant vaut donc toujours 1.
  • Elles permettent de contourner une difficulté technique liée à l’absence de neutre, absence due à l’anticommutativité du crochet de Lie. Elle empêche la détermination d’un élément neutre unique (et le même à gauche comme à droite). A ce stade de l’exploration, la théorie peut être dotée d’une structure d’algèbre –en l’occurrence « de Lie », notée C(X), sans être en mesure d’identifier le groupe –en l’occurrence « de Lie », X, qui lui correspondrait en principe.

La piste de l’involution.

Cette difficulté majeure se contourne habituellement en introduisant la ruse de « l’involution » ; s’applique-t-elle à la théorie des produits de Lie déformés ? C’est la question à laquelle ce document tâche de répondre.

Pour aller plus loin.

  • Si la thématique du neutre vous intéresse, j’ai poussé l’investigation un peu plus loin sur une route continuant de travailler avec des cubes symétriques (tels ceux de E, B, Christoffel) dont les entrées/composantes appartiennent à un ensemble muni d’une multiplication anticommutative, tel par exemple les quaternions ; voir la page : « Métrique de FRLW » (texte en anglais) et la recherche d’un lien avec les transformations de Lorentz.

© Thierry PERIAT.

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Date de dernière mise à jour : 17/11/2022