Quelques rêveries cosmiques cosmoquant-fr

L'héritage d'E. Cartan

Objectif.

Le but de cet article consiste à justifier, autant que faire se peut, la référence que je fais ici ou là dans mon travail aux travaux théoriques généraux développés par E. Cartan dans son ouvrage de 1933 :

Cartan, E. : "Espaces métriques fondés sur la notion d'aire" ; Hermann et Cie, Paris, 1933.

Deux exemples sur cosmoquant.fr

C’est par exemple le cas dans mon introduction de l’effet Thirring-Lense au travers d’une simple analyse de l’élément de longueur riemannien [ISBN 978-2-36923-038-0 ; en français] et de l’usage de la problématique inverse introduite au moment de l’exposé de la méthode extrinsèque.

C’est également le cas dans l’analyse de l’équation de Klein-Gordon (EKG) telle que cette dernière peut être faite à l’aide de la théorie des produits tensoriels/de Lie déformés puis décomposés de manière éventuellement non triviale (dénomination : « La théorie de la question (E) », ou de manière abrégée : TQE) [ISBN 978-2-36923-125-7 ; en anglais].

Une image pour tenter de mieux comprendre.

Pour mieux visualiser la propagation des ondes massives dans les régions réputées vides de l’univers, je propose de garder à l’esprit l’image de ce qui se passe quand une main passe à quelques centimètres d’un fond sablonneux couvert d’eau limpide ; le sable se soulève et, en volutes multiples, envahit une partie du volume aqueux en l’obscurcissant.

Dans l’exploration de l’EKG, les régions vides jouent le rôle de l’eau limpide et l’onde (matérielle), solution de l’équation de Klein-Gordon, joue celui du sable envahissant les espaces vides.

Comment l'héritage d'E. CARTAN apparait-il ?

Dans [ISBN 978-2-36923-038-0 ; p. 3, Equ.(11)], la métrique spatiale s’identifie avec la moitié de la Hessienne de la polynomiale de degré deux pouvant être obtenue par une découpe de type 3 + 1 de l’élément de longueur riemannien.

La formule proposée par E. Cartan est donc retrouvée (voir la photographie) dès le moment où :

[G]TQE = [G]-1E. CARTAN, ΔE. CARTAN = 1

L’application des résultats généraux de la TQE à une équation de Klein-Gordon dans laquelle la solution « onde plane monochromatique » a été injectée, livre une relation [ISBN 978-2-36923-125-7 ; p. 16] qui justifie de se pencher sur les travaux développés il y a maintenant 89 ans par E. Cartan. En particulier, lorsque la métrique spatiale locale intervenant dans l’équation de Klein-Gordon est symétrique, les calculs de la TQE fournissent en dimension quatre :

[G]-1 = Lim k = 0 ½. Hess (k, 0) P2(k)

La formule proposée par E. Cartan est donc retrouvée (voir la photographie) dès le moment où :

L2(u)E. CARTAN = P2(k)TQE, ΔE. CARTAN = 1

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Heritage de cartan 1933

Date de dernière mise à jour : 17/11/2022