Données élémentaires

Un long et pénible chemin

 Comme je l’ai expliqué sur la page d’introduction, ma quête se concentre sur l’approfondissement de la notion de division des produits tensoriels déformés (voir définition dans le document sur cette page). Il y a deux explications ayant motivé ce choix : la première se rapporte aux mathématiques et la seconde trouve son origine dans le domaine de la physique.

Motivation mathématique

Mon premier constat était le suivant. Au cours de mon apprentissage des mathématiques (école élémentaire, primaire, puis collège de l’enseignement général), la notion de division était progressivement apparue mais elle avait d’abord concerné les nombres entiers, donnant ainsi naissance aux nombres entiers relatifs réunis dans un ensemble nommé Q. Puis, au fils du temps, nous nous étions mis à diviser les nombres entiers relatifs, les nombres réels, les nombres complexes. Mais je n’avais jamais entendu d’exposé sur un concept de division concernant les vecteurs au cours de mon parcours menant au baccalauréat.

Concernant ces derniers, nous ne travaillions à l’époque (avant juin 1974) que sur des espaces euclidiens tridimensionnels réels rapportés à des repères orthogonaux directs. Mes professeurs m’avaient bien initié aux deux types de produits : le produit vectoriel avec la règle dite du « tire-bouchon », interne sur E(3, R) ; le produit scalaire, externe puisque défini de E(3, R) x E(3, R) vers R.

La théorie des ensembles faisait partie de notre bagage et nous avions donc eu droit aux notions indispensables sur les classes d’équivalence, aux modules, aux partitions d’un ensemble, etc… Nous savions aussi qu’il était possible de combiner translation et rotation -dans un ordre indifférent- pour obtenir une torsion. Nous pouvions multiplier des matrices entre elles et même les inverser si leurs déterminants n’étaient pas nuls.

Mais diviser un vecteur qui aurait été le résultat d’une torsion par une matrice de rotation pour retrouver sous forme de reste la translation contenue dans cette torsion : cela, nous ne savions pas le faire !

Voilà pourquoi j’ai voulu savoir s’il était possible et raisonnable de définir une telle opération.

Motivation physique

Les cours d’électromagnétisme que nous recevions à la même époque m’ont alors servi de terrain d’expérimentation. J’avais réalisé que le moyen le plus simple de développer mon idée balbutiante était de chercher à savoir quand un vecteur donné, w, était le résultat exact du produit d’une rotation, R, par un vecteur initial : u. Et j’écrivais autrefois fort maladroitement cette écriture mixte mélangeant matrices de M(3, R) et vecteurs de E(3, R) sans vergogne :

w = R. u

J’avais ensuite redécouvert que si le vecteur w était lui-même un produit vectoriel, alors mon équation initiale consistait à écrire

v x u = R. u

De sorte que la matrice R devait forcément être une représentation du vecteur v.

v ® R = F(v)

Les mois ont passé, j’ai pu découvrir les notions d’espace vectoriel dual, de représentation matricielle des rotations, etc… J’ai alors nommé ma matrice F « décomposition triviale » du produit vectoriel v x u.

Et puis je me suis amusé à appliquer cette manière de penser aux équations de Maxwell pour les espaces vides. Et j’ai découvert que ce cheminement permettait de trouver une densité volumique de force… .

La maturation

Le fait de pouvoir déduire des résultats concernant la physique, le monde réel, avec des manipulations mathématiques déclencha en moi à la fois la joie et la fascination. Le monde des idées, de la spéculation, des représentations mentales était donc reliable au monde expérimental, réel.

Je me suis donc demandé s’il était possible de généraliser la démarche en déformant les produits vectoriels, et en envisageant le problème dans des espaces vectoriels d’une dimension supérieure à trois, etc…

 

Vers le plan du livre

event Date de dernière mise à jour : 16/11/2020

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