Enigme euclidienne

 

Document francophone : Produits vectoriels déformés, spineurs de Cartan (Elie) et paramétrisation d’Euler, ISBN 978-2-36923-073-1 (lien externe Zenodo.org).

Définition :

Je désigne par « énigme euclidienne » le fait surprenant que le produit vectoriel classique défini au sein des espaces vectoriels tridimensionnels rapportés à une géométrie euclidienne et à des repères orthonormés directs ne se décompose pas trivialement au sein de la théorie des produits tensoriels déformés.

Contexte :

La théorie de la question (E) propose deux méthodes autorisant en quelque sorte à diviser les produits tensoriels déformés : [a], [b]. Lorsque ces produits sont bâtis sur des cubes antisymétriques, ils deviennent des produits de Lie déformés (voir les données élémentaires). Dans les espaces de dimension trois, les produits de Lie déformés se confondent avec le produit vectoriel classique car celui-ci n’est rien d’autre qu’un produit de Lie déformé par la matrice [J]. Il est donc possible d’utiliser la méthode extrinsèque pour étudier les décompositions non-triviales des produits vectoriels. Les résultats livrés par cette méthode peuvent ensuite être comparés à ceux que fournit la méthode intrinsèque pour ces mêmes produits.

La confrontation consiste en une sorte de calibration. Elle est exposée dans le document dissertant sur les décompositions d’Helmholtz (en français) [c] et dans le document anglophone expliquant la méthode extrinsèque de manière exhaustive [b].

Cette calibration met en évidence « l’énigme euclidienne ».

La résolution de l’énigme :

J’ai pu montrer que les décompositions non-triviales des produits vectoriels fournis par l’usage calibré des deux méthodes (intrinsèque et extrinsèque) ont un sens mathématique dans E(3, C) lorsqu’on force la théorie à manipuler des couples ou des triplés de vecteurs isotropiques (un vecteur isotropique est un vecteur non-nul dont la norme euclidienne est nulle) et les spineurs d’E. Cartan qui y sont associés, [01].

Commentaires :

Bien que l’usage des nombres complexes soit désormais banal en physique (les cours sur l’électricité et le magnétisme dispensés dans les classes scientifiques des collèges et lycées illustrent mon propos), leur apparition ne lasse de surprendre. Le monde réel accepte de se laisser décrire en partie par ces drôles de nombres et par leurs cousins directs : les quaternions, H, ou les octonions, O.

Pour autant, leur apparition au sein d’une théorie se piquant de s’appliquer aux moments angulaires qui sont une grandeur quantifiée représente une opportunité irremplaçable pour qui espère décrire, par ce biais-là, les particules avec lesquels ils sont associés ; voir la page dédiée aux : opérateurs quantiques de la théorie.

Plus clairement : les spineurs de rang un et ceux de Dirac jouent un rôle inestimable dans la description du monde atomique et subatomique. La théorie que je tente de promouvoir dans ces lignes essaye de faire jouer un rôle similaire aux spineurs d’E. Cartan.

Il faut pour cela pouvoir donner un sens physique à la relation générique des décompositions. L’introduction de la paramétrisation d’Euler aide à parvenir à ce but ; la théorie générale des spineurs la complète.  

Œuvre personnelle :

[a] PERIAT, T. : Décompositions intrinsèques des produits vectoriels déformés ; ISBN 978-2-36923-036-6.

[b] PERIAT, T. : Extrinsic method; ISBN 978-2-36923-092-2, v6, novembre 2020 ; Extmethod v6Extmethod v6 (351.77 Ko).

[c] PERIAT, T. : Confrontation avec la décomposition d’Helmholtz ; ISBN 978-2-36923-098-4, 25 octobre 2020 ; vixra/abs/2011.0010.

© Thierry PERIAT.

Bibliographie :

[01] Cartan, E. The theory of spinors; ISBN 0-486-64070-1, translation of the ``Leçons sur la théorie des spineurs (2 volumes)'', Hermann, 1937 - 154 p. Dover Publications, Inc. New York © by Hermann, Paris (1966), 157 pages. L’ouvrage est également consultable en ligne.

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event Date de dernière mise à jour : 19/11/2020

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