Involution

De quoi parle-t-on?

Document anglophone: Idla v3 4 2021Idla v3 4 2021 (587.2 Ko), 54 pages, 14 janvier 2021.

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Un tétraèdre, le héros caché de ce travail ; crédit : pixabay.com.

Voilà un sujet mathématique peu connu des non-spécialistes ; de quoi parle-t-on ? Une volute est un ornement sculpté en forme de spirale. Le préfixe « in » indique un mouvement vers l’intérieur. Le mot décrit donc a priori un mouvement spiralé centripète.

Les mathématiques ont choisi de lui donner un sens légèrement différent, au moins en première intention. L’involution mathématique désigne toute action sur un objet dont la répétition laisse cet objet finalement inchangé. L’action sur l’objet transformé une première fois par cette action redonne l’objet. Ce que la symbolique mathématique a pris l’habitude de noter :

f(f(x)) = 0

Ici, la fonction f assume un rôle générique. Les visages, les représentations de cette action sont multiples.

Prenons un exemple particulier mais concret. L’objet y apparaissant est la position de la grande aiguille d’une horloge mécanique (à l’ancienne). L’action est le fait de la faire volontairement tourner de cent quatre-vingts degrés dans le sens des aiguilles d’une montre. En le faisant une fois, elle occupe une position diamétralement opposée à sa position initiale. En répétant l’action, l’aiguille revient à sa position initiale.

Il existe une infinité de fonctions potentiellement susceptibles de définir une involution. Le document que je propose sur le sujet désigne pour objet un élément de l’espace vectoriel des positions ; je le note x. La fonction est un objet mathématique bâti à partir d’un produit vectoriel déformé par une matrice [A] de M(3, C) dont le projectile est connu et noté ; la paire ([A], a) forme un foncteur f = [a, …][A].

Pour savoir quand cette fonction définit une involution dans l’espace des positions, il faut chercher à caractériser les situations pour lesquelles :

[a, [a, x][A]][A] = x

Les calculs élémentaires permettant de manipuler ce double produit mène rapidement à la relation équivalente :

[a, x][B(f)] = x

La théorie des décompositions des produits vectoriels déformés permet de comprendre que la forme la plus triviale des décompositions possibles pour ce type de produit est donnée par la relation :

[B(f)]F(a) = Id3

L’ensemble du document se focalise sur la découverte des formalismes génériques admissibles pour les matrices [B(f)]. Et la démarche porte ses fruits ; équivalemment : elle apporte un ensemble de solutions.

Ce qui pourrait n’apparaître que comme un jeu de et pour mathématiciens peut peut-être éveiller l’attention de physiciens. En effet, l’application de cet exercice au cas où le projectile est une quantité de mouvement, a = p, ouvre l’univers théorique sur les trous noirs dits de Bowen-York.

Il va plus loin encore en découvrant que l’une des contraintes mathématiques liant certaines composantes des matrices admissibles aux composantes de la quantité de mouvement peut s’identifier avec la relation de dispersion de la lumière (comprise comme un ensemble de photons de masses nulles) dans le vide.

Le traitement particulier qui est accordé ici à l’involution relie donc intellectuellement un concept mathématique, un type de trous noirs et la question de la dispersion de la propagation de la lumière dans le vide.

Bien que le cocktail puisse sembler exotique, il réunit en une seule approche des ingrédients essentiels à la compréhension du comportement des ondes électromagnétiques au voisinage de ces objets encore en pleine étude.

Ce document de 54 pages est présenté en anglais pour le moment sous le matricule ISBN 978-2-36923-116-5. Une fois encore, j’espère que vous en apprécierez l’esprit, l’essence et le contenu. Vos retours sont les bienvenus. La version française devrait suivre au cours des prochaines semaines.

© Thierry PERIAT, 14 janvier 2021.

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Date de dernière mise à jour : 18/01/2021