L'adjonction tensorielle

 

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En partant du principe que certaines représentations d’un champ électromagnétique (EM) sont aussi celles de particules observables dans la nature, les champs EM de nature géométrique qui ont été découverts précédemment suggèrent l’existence de mimétons (appellation provisoire) dont les propriétés restent à explorer.

« Existent-ils vraiment dans la nature? Si oui : où doivent-ils être classés? Sont-ils des champs classiques, des champs de Yang-Mills? Respectent-ils les lois de Maxwell? Ont-ils un lien avec les gravitons de la formulation linéarisée de la théorie de la relativité générale? Quelle énergie véhiculent-ils? Comment se transforment-ils dans un changement de référentiels? Etc. ».

Pour tenter de pouvoir répondre à toutes ces interrogations, j'entreprends ici une étude préalable concernant les représentations des champs EM et les possibilités de passages entre ces représentations.

A cette fin, j’introduis la notion d'analyse périenne des matrices carrées (scalaire, ailes vectorielles et cœur matriciel). J’en démontre l'utilité au travers des matrices de passage entre les versions (2, 0) et (0, 2) d'un champ EM.

Je m’en sers ensuite pour formaliser la problématique plus générale des représentations matricielles dans M(4, C) de l'application baptisée ``adjonction tensorielle''. Le carré de ces représentations doit valoir moins une fois l’identité et chaque représentation doit remplir le rôle normalement dévolu au tenseur complètement antisymétrique de rang quatre.

Ces critères suffisent à établir une classification des représentations possibles. Celle-ci fait comprendre le lien qui existe entre le cœur de certaines des représentations matricielles d’une adjonction tensorielle et la partie principale des décompositions non-triviales de produits vectoriels déformés dont le noyau est de type I.

Bref, le fait de rechercher une représentation menant au tenseur adjoint s’apparente dans certains cas à la recherche d’un produit vectoriel déformé et décomposé non trivialement, donc d’une polynomiale propre de degré deux ; voir à ce propos tous les résultats précédents concernant les méthodes intrinsèques et extrinsèques de décomposition de ces produits, ainsi que leur confrontation.

Conclusion :

Ce travail éclaire la notion de propagation des champs EM d’une manière qui ne m’était pas connue. Il se laissera ultérieurement relier aux considérations faisant des cœurs de ces matrices des opérateurs quantiques.

© Thierry PERIAT.

Vers la page : "Electromagnétisme et géométrie".

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event Date de dernière mise à jour : 17/11/2020

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