Le problème de la jauge

 

L’idée consistant à analyser la loi de Lorentz covariante comme si elle était un opérateur différentiel d’ordre deux est exposée sous une forme simplifiée dans le document précédent (016-8).

J’entreprends maintenant une analyse approfondie de la même idée en ne la restreignant pas aux espaces sans courbure riemannienne.

Le document : Classes d equivalencev1bisClasses d equivalencev1bis (394.93 Ko)

Il contient les parties suivantes :

  1. Recherche de classes d’équivalence dans l’ensemble des décompositions triviales lorsque la géométrie ne varie pas en fonction de la vitesse de la particule considérée. La démarche permet d’introduire les spineurs de Cartan dans la discussion.
  2. Un début d’investigation sur le rôle joué par les tétraèdres dans la théorie de la question (E).
  3. Existence de transcriptions entre les produits tensoriels et les produits de Lie déformés. Mise en évidence de deux interprétations possibles.
  4. Analyse de la version covariante de la loi de Lorentz lorsque celle-ci est interprétée comme un opérateur différentiel d’ordre deux. Ecriture des relations de cohérence. Etude de ces relations et mise en évidence (i) d’un lien formel avec l’équation de Dirac, (ii) d’une connexion liant les champs électromagnétique (et non pas d’une jauge).

Cette étude révèle ainsi quelques aspects et quelques problématiques intéressant soulevés par cette manière de concevoir la loi de Lorentz covariante ; par exemple :

  1. Le résidu (l’accélération dite propre de la particule) n’est en général pas parallèle à sa vitesse.
  2. Des métriques peuvent être reconstruites à partir de l’analyse des spineurs.
  3. La jauge électromagnétique habituelle n’est retrouvée systématiquement.

 

La problématique ouverte de la jauge électromagnétique

Les deux documents ISBN 978-2-36923-016-7 et 112-7 ont permis de démontrer qu’il était possible de transformer la version covariante de la loi de Lorentz [01 ; p. 68, (33-1)], [02 ; p. 474.(20.41)], [03 ; p. 106, (20.4)]  en opérateur différentiel d’ordre deux [04 : chapitre 9].

Ce faisant, une loi physique s’appliquant dans un espace de dimension quatre et respectant la notion de covariance introduite avec la théorie de la relativité générale a été transformée en un ensemble de quatre équations dynamiques du type dit de Langevin [05 ; p. 3, (2.1)]. Ce qui dit au passage, permet d’introduire les notions d’entropie et de probabilité au sein de l’édifice relativiste.

Pour autant, il est important de noter que j’étudie ici le comportement d’une seule particule au travers de ses quatre projections (les coordonnées de sa position dans l’espace-temps, de sa quadri-vitesse, u, et de sa quadri-accélération, du/ds) et non pas quatre particules respectant une seule loi.

L’approche peut s’incorporer à la théorie de Sturm-Liouville [02 ; chapitre 9]. Ainsi en partant d’une loi cinétique du type « Lorentz-covariante » dans laquelle le vecteur f désigne n’importe quelle somme de forces sans lien avec le tenseur champ électromagnétique [F] :

|duds + ÄG(u, u) > = [F].|u > + |f >

Cependant, il convient logiquement de vérifier d’abord la covariance du formalisme au cours d’un changement de référentiel amenant les modifications suivantes :

  1. Transformations linéaires de Lorentz représentées par une Jacobienne.

|u > ® | u’ > = [L].|u >

  1. Dérivation ordinaire des transformations de Lorentz.

du/ds ® du´/ds´ = d[L]/ds. |u > + [L]. |du/ds >

  1. Utilisation de la connexion de Levi-Civita. Voir lecture GTR, page 35, (1.68) :

G ® G´ = [L]. [F]. [L] + …

  1. Constater que la géodésique est Lorentz-transformée :

|du´/ds´ + ÄG´(u´, u´) > = [L].|du/ds + ÄG(u, u) >

Voir aussi le travail historique d’Einstein et l’analyse que j’en ai faite dans « Christoffel revisité » (ISBN 978-2-36923-051-9, v3).

  1. Utiliser en principe la jauge électromagnétique habituelle.

[F] ® [F´] = [L].[F].[L]-1

  1. Traduire la modification de l’expression des forces non EM ; peu importe comment ?

f ® f´

Il faut ensuite effectuer le calcul suivant :

|du´/ds´ + ÄG´(u´, u´) > = [F´].|u´ > + |f´ >

Et vérifier que le résultat final a un formalisme analogue au formalisme initial ; en s’entendant sur ce que veut dire « analogue à » : ces mots veulent-ils dire « proportionnel à et se traduisent-ils par » :

|du´/ds´ + ÄG´(u´, u´) > - [F´].|u´ > + |f´ > = [L].{|du/ds + ÄG(u, u) > - [F].|u > + |f >} ?

La préservation du formalisme des géodésiques réduit cette question à « analogue se traduit-il par » :

|-[F´].|u´ > + |f´ > = [L].{|-[F].|u > + |f > ?

En supposant à cet endroit que les forces non électromagnétiques sont elles aussi Lorentz transformées, la question de l’analogie se réduirait finalement à savoir si :

[F´].|u´ > = [L].[F].|u > ?

Si la réponse était affirmative, alors il faudrait absolument que :

[F´].[L].|u > = [L].[F].|u >

Cette expression serait vérifiée quelle que soit la vitesse si :

[F´] = [L].[F].[L]-1

 

Ce serait simplement la jauge électromagnétique habituelle. Ce résultat encourage à entériner la notion d’analogie examinée ici.

Cependant, et en opposition à cette manière de comprendre la covariance, la transformation de la version covariante de la loi de Lorentz introduit une connexion et non pas une simple jauge ; un débat nouveau est donc apparemment ouvert sur ce qu’il faut entendre par « analogue à (sous l’angle de la notion de covariance) ».

© Thierry PERIAT..

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Bibliographie :

[01] Lichnerowicz, A. : Théories relativistes de la gravitation et de l'électromagnétisme ; collection d'ouvrage à l'usage des physiciens publiée sous la direction de G. Darmois et A. Lichnerowicz. \copyright 1955 by Masson and Cie, éditeurs.

[02] C.W. Misner, K. S. Thorne and J.A. Wheeler: Gravitation; Copyright by W. H. Freeman and Company, New-York, 1973, 1279 pages.

[03] Fliessbach, T.: Allgemeine Relativitätstheorie, 4. Auflage, Spektrum Lehrbuch, ISBN 3-8274-1356-7, Copyright 2003, 1998, 1995, Springer Akademischer Verlag GmbH, Heidelberg, Berlin, 2003; 343 S.

[04] Weber and Arfken: Essential mathematical methods for physicists, international editions, …

[05] Fluctuation theorem for stochastic dynamics; arXiv:cond-math/9709304v2 [cond-math.stat-mech] 22 February 1998.

Date de dernière mise à jour : 22/11/2020