Méthode extrinsèque

Les insuffisances de la méthode intrinsèque

Par prudence, j’ai commencé mon périple dans le monde tridimensionnel. Il pouvait cependant être réel ou imaginaire. Une méthode de décomposition intrinsèque des produits vectoriels a ainsi été élaborée.

Elle constitue un morceau d’algèbre impressionnant (par sa taille). Elle s’articule au départ autour d’un objectif simple : diviser l’image duale d’un produit vectoriel déformé en la caractérisant par une paire ([partie principale], partie résiduelle) dans M(3, C) x E(3, C) sans faire appel à d’autres ingrédients qu’une matrice déformante [A] de M(3, C) et un projectile de E(3, C) (voir la sémantique).

Le théorème initial démontre que le problème posé ne se dissocie pas de l’existence d’une polynomiale de degré deux écrite en fonction des composantes locales du projectile. La partie principale de la division (j’utilise surtout le mot décomposition) peut être formalisée lorsque cette polynomiale est propre (elle possède un vecteur singulier). Pour autant, la méthode ne dit rien sur la partie résiduelle de la décomposition.

Devant cette insuffisance insupportable, il est devenu indispensable de découvrir une méthode plus complète.

La découverte d’une autre méthodologie applicable dans toutes les dimensions - le document (en anglais) : Extmethod v6Extmethod v6 (351.77 Ko).

Je ne sais comment l’idée a germé en mon esprit -sans doute à cause de réflexions sur la notion d’incertitude sur les mesures physiques (W. Heisenberg déjà)- mais j’ai fini par imaginer que le mathématicien devrait accepter, lui aussi, le principe que la recherche des solutions aux problèmes qu’il se pose ne livre que des réponses approximatives.

A vrai dire, cette intuition n’est pas de moi et il y a déjà fort longtemps que certaines solutions ne sont atteintes que par réitération d’algorithmes.

La méthode extrinsèque part du principe que nos calculs s’effectuent dans un contexte, par exemple géométrique, et que celui-ci doit peu ou prou influencer les résultats des opérations effectuées, en particulier donc : les divisions aussi.

C’est ainsi que naît la méthode consistant à vouloir comparer (i) un scalaire associé avec une décomposition approximative -mais la plus exacte possible- d’un produit tensoriel déformé et (ii) un développement limité à l’ordre deux d’une polynomiale de degré deux. Elle livre rapidement le formalisme générique des décompositions ; quand la comparaison est possible.

Les insuffisances de la méthode extrinsèque et les manières d'y remédier.

Là aussi, rien n’est parfait. La méthode ouvre un débat sur trois sujets épineux :

  1. Si l’annulation de l’erreur d’approximation sur une décomposition annule bien de facto son scalaire associé, l’inverse est faux. Il faut donc toujours accompagner la réalisation de la méthode extrinsèque d’un test logique. Par chance, les particules idéales circulant dans le vide de Maxwell valident ce test.
  2. Pour un produit vectoriel déformé donné, la méthode ne fournit pas a priori la même partie principale que la méthode intrinsèque ! Il convient donc d'opérer un calibrage des deux méthodes au moyen d'une confrontation ad hoc.
  3. A la limite euclidienne des espaces de dimension trois, la calibration pousse la discussion sur le terrain des vecteurs isotropiques  (déjà rencontrés au cours de la discussion sur la structure de C*-algèbre) et des spineurs d'E. Cartan.  

 

© Thierry PERIAT 

Vers le plan du livre.

event Date de dernière mise à jour : 20/11/2020

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