Méthode intrinsèque

Partie principale des décompositions intrinsèques des produits vectoriels déformés

Dans les espaces de dimension trois, les produits vectoriels déformés du type générique [a, ][A] acceptant une décomposition non-triviale ([P], z) dans U = M(3, C) x E(3, C) sont automatiquement associés à une polynomiale de degré deux écrite en fonction des trois composantes du projectile, a (voir dans le document : le théorème initial).

Le document et son complément récent : 

PERIAT, Thierry (2019, April 29). Décompositions intrinsèques des produits vectoriels déformés (Version v20180814). Zenodo. http://doi.org/10.5281/zenodo.2653623.

PERIAT, Thierry : Involutions v5 2021 fr section 02Involutions v5 2021 fr section 02 (267.72 Ko), 25 janvier 2021 ; Complément indispensable ; sur ce site.

Résumé du document initial :

Pour qu’une décomposition non-triviale existe réellement, il suffit que cette polynomiale soit propre. Ce qui veut dire que la Hessienne [S0] de cette polynomiale est inversible et que celle-ci possède un vecteur singulier s.

Dans ce cas, la partie principale [P] de la décomposition non-triviale d’un produit vectoriel déformé s’écrit génériquement :

[P] = {[A]t. [J]}. {½. |A|. [S0] + [J]Φ(s)} avec |A| = ±1

Où :

  • la matrice carrée de M(3, C), [A], caractérise la déformation apportée au produit vectoriel classique qui sinon est conventionnellement défini par la matrice [J].
  • on peut considérer que la matrice [J] est une représentation d’une racine sixième de l’unité dans l’espace des nombres complexes.
  • la matrice carrée (3-3) [J]F(s) est la partie principale triviale de la décomposition de n’importe quel produit vectoriel classique du type :

|s > = [J]Φ(s). |>.

Histoire du document :

Ce résultat est le fruit d’une longue démonstration consignée initialement dans le document ISBN 978-2-36923-036-6, v1 du 16 octobre 2014. Il a été traduit en anglais où il est visible dans le document ISBN 978-2-36923-084-7 du 28 juin 2016. Il a également été incorporé au document francophone ISBN 978-2-36923-063-2 du 14 avril 2015 le confrontant avec ce que la physique dit au sujet des électrons de Bloch et finalement à la version anglophone de ce dernier.

Ce travail est longtemps resté orphelin à cause :

  • de la taille de la démonstration,
  • de son apparence illogique (En effet, le projectile impliqué dans le produit vectoriel déformé n’y apparait que très indirectement alors qu’une décomposition triviale livre simplement [A]Φ(a). |>)
  • et du peu d’intérêt porté par la communauté scientifique à cette démarche algébrique.

Applications et utilités :

Il trouve cependant aujourd’hui tout son relief dans une confrontation avec la méthode extrinsèque qui peut être utilisée pour découvrir les décompositions non-triviales de ces mêmes produits vectoriels déformés.

Enfin, le complément (voir en haut de page) étend le domaine de la discussion et trouve un intérêt certain dans une exploration de la notion d'involution... qui, elle-même, permet de rebrancher ces thématiques mathématiques sur des problèmes de physique mathématique incluant certaines familles de trous noirs et la question de la dispersion de la lumière. 

© Thierry PERIAT

Vers le plan du livre.

Date de dernière mise à jour : 11/02/2021