Tétraèdres et réalité

Où y-a-t-il des tétraèdres dans notre environnement quotidien ?

En quoi les tétraèdres font-ils partie de notre réalité quotidienne ? Tout dépend du regard que nous décidons de porter sur la réalité.

Les touristes passionnés d’égyptologie verront à l’évocation de ce mot les pyramides de Gizeh [01] et, en avant-goût avant-gardiste celle qui siège en face du musée du Louvre.

Paris pyramide louvre

Copyright : Thierry PERIAT.

Les géologues, les archéologues et les chimistes penseront aux sédiments et à certaines molécules, par exemple les silicates [02 ; §4.3]. A en croire l’encyclopédie canadienne des minéraux [03 ; § Silicates], les silicates sont des « … (citation) minéraux contenant du silicium et de l'oxygène, qui forment plus de 90 p. cent de la croûte terrestre et environ un quart des espèces connues de minéraux. Le motif structural des silicates est le tétraèdre de silicium-oxygène (SiO4). Les silicates sont classées en six groupes selon les façons dont les tétraèdres sont unis les uns aux autres (fin de citation) ».

Les informaticiens penseront aux procédures de tétraèdrisation des espaces de dimension trois leur permettant d’envisager la réalisation de programmes de visualisation des objets ainsi que leur mise en animation pour diverses utilisations : industrie automobile, aéronautique, du dessin animé, du jeu, etc…

Les physiciens fondamentalistes de la théorie des boucles quantiques y reconnaitront leur objet mythique.

Voilà, semble-t-il, de bonnes raisons motivant de se pencher à nouveau sur la géométrie fascinante de cette figure platonique.

Bibliographie :

[01] Les pyramides de Gizeh ; article sur Wikipédia : Pyramides de Gizeh — Wikipédia (wikipedia.org)

[02] Cours de l’université de Picardie ; cours de sédimentologie - chapitre 3 (u-picardie.fr)

[03] Encyclopédie canadienne ; Minéral | l'Encyclopédie Canadienne (thecanadianencyclopedia.ca)

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Quelques réflexions libres autour du tétraèdre

Contexte historique (rappels) :

Le tétraèdre (la pyramide à quatre faces) est une figure géométrique déjà connue des anciens égyptiens. Une recherche historique centrée sur l'étude mathématique de cet objet peut au moins remonter jusqu'à Héron d'Alexandrie (mathématicien Grec du premier siècle après J. C.). Sa célèbre formule permet de calculer l'aire S d'un triangle dont seules les longueurs (a, b, c) des trois côtés sont connues.

p = (a + b +c)/2 ; S = racine de (p.(p - a).(p – b).(p – c))

Elle permettra à Jean-Paul de Gua de Malves (1710 - 1786 ; lien externe Wikipédia-FR), connu pour ses mémoires examinant les règles fixés par Descartes [01], de démontrer en 1783 (mémoire parisienne) un théorème énoncé dès 1622 par R. Descartes et J. Faulhaber. Il relie entre elles les quatre aires S$_\alpha$ ($\alpha$ = 0, 1, 2, 3) du tétraèdre :

(S0)2 = (S1)2 + (S2)2 + (S3)2

Euler à l'académie de Saint-Pétersbourg (Russie), Lagrange dans les mémoires de l'académie de Berlin (1773), Carnot dans son ouvrage sur la géométrie des positions, Monge et Hachette dans une correspondance à l'Ecole polytechnique de Paris, et bien d'autres auteurs ont contribué à poser les premières briques d'un édifice mathématique décrivant les propriétés remarquables de cette figure platonique [02 ; pp. 105-133].

Les difficultés d'interprétation d'une formule :

L'Equ.(2) retient l'attention. Comme il est souvent remarqué dans les textes la présentant, elle constitue une généralisation à l'espace de dimension trois de ce qu'est le théorème de Pythagore aux espaces de dimension deux. Etant implicitement entendu que, dans un cas comme dans l'autre, il irait apparemment de soi que ces espaces sont présumés rapportés à des géométries euclidiennes. Mais, n'est-ce pas exactement le moment dans l'histoire de la pensée humaine où une mise en relation erronée a eu lieu ? Je m'explique.

Aussi petites que puissent être les surfaces dont parle la formule de De Gua, elles ne sont pas des longueurs. Pourtant, à cause d'une analogie formelle évidente, il est tentant de s'interroger sur l'existence de liens éventuels entre cette formule et celle décrivant les éléments de longueurs donnée par B. Riemann (1826 - 1866), puis par H. Minkowski (1864 - 1909 ; un professeur de mathématique d'A. Einstein) [03]. 

(dS0)2 = (dS1)2 + (dS2)2 + (dS3)2 ; unites : M4 ; système : (MKSA).

La compréhension de la manière dont s'imbrique un espace de dimension D dans un espace de dimension D + 1 constitue, malgré les apparences de facilité, un des plus profonds défis pour la pensée humaine. Pour s'en convaincre, peut-être convient-il de se remémorer le débat sur la planéité de la Terre.

Pour moi, la formule de De Gua suggère deux réflexions : (i) le tétraèdre constitue la figure la plus simple et la plus petite capable de contenir une région close que nous percevons être de dimension trois ; (ii) son formalisme induit notre cerveau en erreur parce qu'il donne l'impression d'être une formule agissant dans un espace de dimension quatre clos (celui des quatre faces du tétraèdre).

L'interprétation correcte de cette formule ne peut avoir que de grandes conséquences sur le décodage du monde physique. Pour se convainre de cette affirmation, il suffit de songer au fait qu'une interprétation hypothétique se basant sur une relation du genre :

(dSa)2 = k. (dxa)2 ; k > 0

dans laquelle k serait une constante ayant les unités d'une surface, relierait la formule de De Gua à la vitesse de propagation de la lumière dans les espaces vides ; celle-ci étant mesurée par des observateurs placés à l'origine de référentiels inertiels (Ou bien soumis à aucune force ; ou bien soumis à un ensemble de forces dont la résultante est nulle) :

Injection de (4) dans (3) => (dx0)2 = (dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2 ; unités : M2 ; système : (MKSA).

Bien entendu, au moins à ce stade de l'exposé, il n'y a pas de justification physique simple et immédiate poussant à croire que l'hypothèse (4) est réaliste. Cet exemple a d'abord et avant tout une visée pédagogique destinée à illustrer ce que je tente de faire comprendre.

Pour autant, l'Equ.(4) ne propose rien d'autre que l'hypothèse suivante : "Il existe des variations (éventuellement infinitésimales) d'une surface qui peuvent être proportionnelles aux variations d'une coordonnée à laquelle cette surface serait spécifiquement associée".

Ce qui génère la série non exhaustive des interrogations logiques suivantes : "Quelle coordonnée peut donc être associée spécifiquement à une surface donnée ? Serait-ce celle de son centre géométrique lorsqu'il s'agit d'une surface fermée ? Y-a-t-il des situations physiques concrètes permettant d'envisager ce lien de dépendance entre une surface et un déplacement de celle-ci ? Une surface étant un ensemble de points liés entre eux de diverses manières, il n'y a aucune certitude sur le fait que tous ces points se déplacent à la même vitesse et dans une direction unique ; alors pourquoi et comment devrait-on associer un seul point à une telle surface en pleine déformation ? Et si ceci reste toutefois possible : lequel ? etc."

Certaines de ces quelques questions reçoivent une réponse susceptible de valider l'Equ.(4). Avant d'en donner quelques exemples, je noterai que toutes ces questions montrent la nécessité de décrire précisément les conditions physiques des réponses qui leurs seront apportées. Je distinguerai pour commencer deux grandes familles de situations : celle pour lesquelles la surface reste statique ; celle pour lesquelles ces surfaces se déforment et/ou se déplacent par rapport à un point fixe.

Exemple dans la première famille : la surface d'un rectangle statique est réputée être proportionnelle à la longueur de chacun des deux côtés. Cette évidence ne porte aucune information nouvelle en soi mais elle démontre à quel point l'interprétation d'une formule mathématique simple reste multiple, liée au regard que porte sur elle l'imagination de l'esprit humain l'analysant. Car l'Equ.(4) contient bien en particulier le cas :

dS = racine (k). dx ; k > 0

et si l'esprit interprète spontanément la surface infinitésimale dS décrite par cette formule comme ayant la forme d'un rectangle, il peut aussitôt être tenté d'en déduire que le dx représente un des côtés de ce rectangle tandis que racine de k représente l'autre côté de celui-ci. Tout est bien ici si racine de k a les unités d'une longueur, sauf... que rien n'indique que la surface décrite par cette équation soit systématiquement rectangulaire.

Exemples dans la seconde famille : le déplacement d'une règle de longueur fixe dans une des deux directions de l'espace perpendiculaire à son grand axe décrit une surface rectangulaire virtuelle. Cette surface descriptive de l'amplitude d'un mouvement est virtuelle car le déplacement n'a pas créé de matière. En revanche, (i) si la règle était faite d'une matière élastique qui en permette la déformation dans une direction spatiale perpendiculaire à son grand axe et (ii) si l'amplitude de l'allongement était proportionnelle au temps qui passe ou à une vitesse de dilatation, alors l'Equ.(4) acquerrait un sens physique acceptable.

A noter enfin que, par une extrapolation hardie de l'esprit, il pourrait à la rigueur être admis l'idée que le bord d'une surface entièrement statique décrive lui aussi une surface virtuelle dans une hypothétique quatrième direction temporelle supposée orthogonale à toutes les dimensions spatiales. Mais cette pensée reste très spéculative et, à ce jour, très incertaine. Je la laisserai donc de côté en la rangeant dans la catégorie des spéculations hasardeuses. Les lecteurs intéressés par ces pensées divergentes peuvent découvrir une partie de mes travaux intitulés : GTR2 [a], [b], etc.

Contributions personnelles :

[a] PERIAT, T.: GTR2, fondations ; ISBN 978-2-36923-088-5, v1, 12 février 2016.

[b] PERIAT, T.: GTR2, pseudo-champs électromagnétiques, pseudo-tenseur de courbure ; ISBN 978-2-36923-135-6, v2, 14 février 2020.

© Thierry PERIAT, 30 janvier 2021.

Bibliographie :

[01] De Gua de Malves, J. P. : Usages de l'analyse de Descartes (pour découvrir sans le secours du calcul différentiel les propriétés ou affections principales des lignes géométriques de tous les Ordres ; chez Briasson, Librairie, rue St Jacques, à la science. Paris, 1740.

[02] Dr. Crelle, A. L. : Sammlung mathematischer Aussage und Bemerkungen; herausgegeben, erster Band, Berlin, 1821, 304 S. (pages).

[03] Minkowski, H.: Raum und Zeit ; cours présenté devant la Versammlung deutscher Naturforscher und Ärtze, Cologne, 21 septembre 1908 ; Physikalische Zeitschrift 10 (1909), pp. 75-88, réimprimé par Blumenthal en 1913 et traduit partiellement en anglais (section I et II) par Ganesh Prasad dans Bulletin of the Calcutta Mathematical Society, Volume 1, pp. 135-141.

Les étapes de l'approche

Des objets mathématiques à la croisée des chemins

ISBN 978-2-36923-089-2 : Métrique hessienne, dérivées covariantes, tétraèdres et cosmologie,  propagateurs et opérateurs quantiques.

La géométrie des tétraèdres et l’algèbre - Introduction

ISBN 978-2-36923-097-7 : exploration des produits de Lie déformés en dimension quatre, le rôle des tétraèdres dans la physique moderne.

Produits vectoriels déformés, involution et dispersion de la lumière

ISBN 978-2-36923-115-8 ; Comme le titre l’indique : les liens entre l’involution des produits vectoriels déformés et la loi de dispersion de la lumière dans le vide ; version française en cours de traduction – voir la version anglaise.

La géométrie des tétraèdres et l'algèbre des produits vectoriels déformés involutifs – Le lexique

ISBN 978-36923-155-4 ; le lexique assurant la traduction entre les objets géométriques et les objets algèbriques ; rédaction en cours.

© Thierry PERIAT, 17 janvier 2021.

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Date de dernière mise à jour : 22/02/2021