Aires et métriques

Aires, métriques et méthode extrinsèque

Résumé du propos

En 1933, E. Cartan démontre dans [01] la possibilité de définir des métriques à partir d'aires en évolution. Dans les espaces de dimension trois, la méthode extrinsèque se laisse confronter avec la méthode intrinsèque et le calibrage permet de réintroduire les métriques de Cartan.

Explication de la démarche.

Il y a quelques années j'ai posé une question un tantinet provocatrice en demandant ce que des microscopes ultra-puissants permettraient de découvrir si nous observions avec eux la texture ultime de l'espace-temps? Ces instruments nous laisseraient-ils voir une sorte de treillage géométrique ? Quelque chose ressemblant un peu à cette plante découverte par hasard sur l'île de Samos? 

Samos3470

copyright Thierry PERIAT

Cette idée qui paraissait être originale à l'époque de son énoncé (2013) empruntait beaucoup - mais sans le savoir- à une démarche propre à la théorie des boucles quantiques (la Loop Quantum Gravity) et elle semblait être conforme aux visualisations livrées par les simulationsrécentes du projet TNG Illustris (https://www.tng-project.org).

Tng project

En basant la réflexion sur les calculs montrant qu'il est possible de définir des tubes élastiques de vide (voir la page : du vide et des cordes), la pensée libre pouvait en effet imaginer l'existence d'une telle structure.

Elle serait une sorte de mécano tubulaire en extension (pour rendre compte de l'expansion de l'univers). Il y aurait des tubes contenant une faible densité de matière et, entre eux : rien. Cette approche n'empêcherait pas d'imaginer que cette enchevêtrement filamentaire définisse des aires (par exemple : triangulaires). Elles seraient nos uniques outils pour tenter de construire, ou plus exactement reconstruire, une métrique pour les échelles habituelles (celles où nous vivons) et galactiques. C'est la raison intuitive pour laquelle j'ai très vite pensé qu'il devait être possible de construire des espaces métriques à partir de surfaces.

Mon intuition n'était pas fausse, mais l'utilisation effective de l'idée qu'elle contient a du attendre jusqu'à cette année ; entre-temps :

  • des expériences ont démontré qu'il n'est pas possible d'espérer voir le maillage géométrique dont l'existence était pressentie. Soit il est trop fin pour être perceptible, soit il laisse les particules circulant dans le cosmos totalement insensibles puisqu'elles se déplacent toutes en respectant l'invariance des vitesses propre à chacune d'elles.
  • j'ai découvert l'extraordinaire ouvrage d'E. Cartan [01]. Alors membre de l'Institut, professeur à la Sorbonne, ce mathématicien publie en 1933 un petit recueil d'une cinquantaine de pages où il expose en français comment construire des espaces métriques à partir de la notion d'aire. Ce livre est un diamant. Il démontre non seulement la puissance de réflexion de son auteur, mais sa géniale capacité à lier géométrie et algèbre tensorielle. L'autre grand intérêt de ce document est la clarté avec laquelle il explique bien les frontières entre les mondes euclidiens, riemanniens et plus généraux encore. Il le fait avec une simplicité presque déconcertante. Mieux, il donne les critères permettant de savoir quand l'espace dans lequel les calculs nous emmènent est riemannien ou non. Ce critère pourrait être d'un grand intérêt à l'avenir pour tous ceux qui pensent que la géométrie de Riemann ne suffit pas toujours à décrire notre réalité.
  • j'ai enfin achevé le calibrage des méthodes de décomposition des produits vectoriels déformés ; voir la décomposition d'Helmholtz et l'exposé de la décomposition extrinsèque en anglais.

Ainsi, la démarche spécifique de la théorie de la question (E) :

- n'introduit pas la notion de métrique de la même manière que le fait la théorie des boucles quantiques ;

- montre que l'oeuvre d'E. Cartan joue un rôle central dans la calibration des décompositions (éventuellement non-triviales) des produits vectoriels (éventuellement déformés) et que la notion de métrique peut être introduite dans la discussion théorique au travers de cette calibration.

Une possibilité d'application au sein de la théorie des produits vectoriels déformés : l'équation de Klein-Gordon - voir le document Ec33 20201123Ec33 20201123 (297.65 Ko).

© Thierry PERIAT.

Vers la page : Opérateurs quantiques.

Bibliographie :

[01] Cartan, Elie. Les espaces métriques fondés sur la notion de d'aire dans « Actualités scientifiques et industrielles, numéro 72, exposés de géométrie publiés sous la direction de monsieur Elie Cartan, membre de l'institut et professeur à la Sorbonne; Paris, Hermann et Cie, éditeurs, 1933..  

 

Date de dernière mise à jour : 25/11/2020