Approfondissement

 

Les premiers acquis invitent :

  1. A confronter les résultats généraux obtenus sur la décomposition intrinsèque de produits vectoriels déformés [01] dans un cadre physique. Cette démarche passe par la recherche de relations décrivant des situations réelles contenant une polynomiale de degré deux.

L’équation de Klein-Gordon [02 ; p. 133, (63) – p. 337, (20) – p. 557, (9)], l’expression de l’énergie des électrons en réseaux (dits aussi de Bloch) et plus généralement l’équation de Schrödinger [03, tome I, p. 20, (B-8)], les solutions de la théorie de la relativité générale elle-même (les ds2) [04 ; p. 4] en sont trois illustrations. Au décours de ces tentatives, une information importante surgit :

« Le projectile impliqué dans une polynomiale propre de degré deux ne coïncide pas avec le vecteur singulier de cette polynomiale ».

Tableau : Une problématique liée au vecteur singulier.

Ce constat n’est pas problématique en soi, sauf pour un ensemble précis de situations physiques ; démonstration du propos :

En effet, un vecteur singulier représente un point d’équilibre où l’ensemble des pentes s’annulent (par définition).

Par ailleurs, une particule, une onde, ont a priori tendance à suivre des trajets le long desquels s’appliquent le principe économique dit « de la moindre action » (minimisation de l’effort ou de la perte d’énergie).

Ainsi, il y a fort à parier qu’une quantité de mouvement ou qu’un vecteur d’onde devraient coïncider avec les vecteurs singuliers des polynomiales qui leurs sont attachées.

Or les calculs montrent que le projectile du produit vectoriel déformé impliqué dans les exemples précédents (le vecteur d’onde dans les deux premiers cas, la quantité de mouvement spatiale dans le troisième) ne coïncide en général pas avec le vecteur singulier de la polynomiale de degré deux dans laquelle il apparaît.

La coïncidence doit donc résulter de l’adjonction d’une contrainte supplémentaire. Il reste à savoir laquelle. ‹

 

La suite des explorations a permis de découvrir un type de circonstances assurant la coïncidence recherchée mais seulement entre la position spatiale et le vecteur singulier d’une famille très particulière de polynomiales ; voir Einstein-Rosen revisité.

  1. A poursuivre l’étude des métriques basées sur des Hessiennes (qu’on pourra à juste titre appeler « à la E. Cartan en hommage à leur découvreur) ; voir l’ouvrage de référence [05] et la page « Aires, métriques et méthode extrinsèque ».

  1. A réaliser l’étude d’une représentation alternative (ou complémentaire) des spineurs inventés par E. Cartan (voir l’ouvrage de référence [06]) pour décrire les quantités de mouvement dans les espaces de dimension quatre.

© Thierry PERIAT

Vers le Plan du livre

Bibliographie :

[01] PERIAT, T.: Décompositions intrinsèques des produits vectoriels déformés ; ISBN 978-2-36923-036-6, v2, 14 août 2018.

[02] Crawford, F.S. Jr (traduit par LENA, P.) : Ondes ; Berkeley, cours de physique, tome 3, © Librairie Armand Colin, Paris, 1972, 603 pages.

[03] Cohen-Tannoudji, C., Diu, B., Laloë, F. : Mécanique quantique, Tome I et II ; collection enseignement des sciences, ISBN 2-7056-5733-9, © 1973, Hermann, 293 rue Lecourbe, 75015 Paris.

[04] Cartan, E. : Sur les équations de la gravitation d’Einstein, extrait du journal de mathématiques, 1922, fasc. n°2, Paris, Gauthier-Villars et Cie, Editeurs, 74 pages.

[05] Cartan, E. : Les espaces métriques fondés sur la notion de d'aire dans Actualités scientifiques et industrielles, numéro 72, exposés de géométrie publiés sous la direction de monsieur Elie Cartan, membre de l'institut et professeur à la Sorbonne; Paris, Hermann et Cie, éditeurs, 1933.

[06] Cartan, E.: The theory of spinors. First published by Hermann of Paris in 1966; translation of the “Leçons sur la théorie des spineurs (2 volumes)” Hermann, 1937; Dover Publications, Inc. New York. © 1966 by Hermann, Paris, ISBN 0-486-64070-1, 151 pages.

Date de dernière mise à jour : 25/11/2020