Aires et métriques

L'héritage d'E. Cartan.

Point 5.a de la table des matières, document ISBN 978-2-36923-080-9, EAN 9782369230809, 14 pages.

Equation de Klein-Gordon et relation de dispersion des ondes électromagnétiques relativistes.

Ce document démontre que l'équation de Klein-Gordon se laisse analyser dans le cadre de la théorie des produits tensoriels déformés. Il montre l'intérêt pratique de méthodes mathématiques mises au point pour décomposer ces produits de façon non triviale. Il définit les conditions de leur applicabilité. De plus, il établit les prémisses d'un lien profond entre cette équation et la formulation covariante de la loi de Lorentz.

Presentation© Thierry PERIAT : Plan schématique de l'exposé menant de l'équation de Klein-Gordon à la loi covariante de Lorentz.

L’objectif

Le but de ce bref exposé consiste à expliquer, autant que faire se peut, l’intérêt des travaux théoriques généraux développés par E. Cartan dans son ouvrage de 1933.

Les motifs

Quand ces calculs généraux sont appliqués à une équation de Klein-Gordon dans laquelle la solution « onde plane monochromatique » a été injectée, alors la théorie des produits vectoriels déformés livre le résultat qui justifie de se pencher sur les travaux développés il y a maintenant 88 ans par E. Cartan ; en effet, il vient simplement -après une découpe 3 + 1 usuelle de l’espace-temps- une relation type : 

Hess (k, 0) L(k) = [G]-1 + ([G]-1)t

En particulier, lorsque la métrique spatiale locale intervenant dans l’équation de Klein-Gordon est symétrique, les calculs fournissent en particulier :

[G]-1 = ½. Hess (k, 0) L(k)

La formule proposée par E. Cartan est donc retrouvée dès le moment où :

L2 ~ L(k) (à un facteur près)

Conclusion

L’équation de Klein-Gordon peut se comprendre comme une polynomiale de degré deux écrite en fonction des trois composantes spatiales d’un vecteur d’onde k. À la suite de quoi :

  1. non seulement elle peut être associée à un produit vectoriel déformé du type [k, …][A] mais encore
  2. il est possible d’imaginer que le déplacement de l’onde ou bien génère une métrique spatiale locale, soit est influencé par celle-ci.

 

Aires et metriquesCartan, E. : (+Wikipédia-Fr). Les espaces métriques fondés sur la notion de d'aire dans "Actualités scientifiques et industrielles'', numéro 72, exposés de géométrie publiés sous la direction de monsieur Elie Cartan, membre de l'institut et professeur à la Sorbonne; Paris, Hermann et Cie, éditeurs, 1933 - la partie centrale fait 50 pages.

Date de dernière mise à jour : 27/04/2021