Elément de longueur

L'énigme euclidienne

Point 6.c de la table des matières ; document ISBN 978-2-36923-073-1, lien externe vers le site de dépôt Zenodo.org.

Le contexte historique.

La version covariante de la loi de Lorentz trouve son origine dans la manière dont la théorie de la relativité générale traite la détermination des trajectoires (tubes d’univers de section très petite) des particules électrisées ; en attestent les ouvrages [01 ; § 33, pp. 68-69] et [02 ; p. 1-05].

Mon attention a été attirée par la :

Proposition : « Si un champ gravitationnel et un champ électromagnétique partout réguliers sur V4 satisfont aux équations du schéma champ électromagnétique pur (cas unitaire extérieur) et aux axiomes de la relativité générale, le champ électromagnétique doit être nul et le ds2 localement euclidien [01 ; § 33, p. 69] »

dont A. Lichnerowicz note que la validité a été établie pour le cas stationnaire par Y. Thiry dans une référence dont il ne donne malheureusement pas tous les détails.

Les motivations d’un intérêt renouvelé.

Je ne peux aujourd’hui plus m’empêcher de mettre cette proposition en relation avec le résultat majeur de mon exploration concernant l’élément de longueur dans un contexte mêlant l’approche relativiste et l’analyse tensorielle que je fais des polynomiales de degré deux ; voir le document ISBN 978-2-36923-073-1 sur Zenodo.org, [a].

En effet, cette analyse tensorielle indique que, dans un contexte au sein duquel le produit vectoriel et le produit scalaire sont définis de la manière accoutumée caractérisant les géométries euclidiennes des espaces de dimension trois, alors les arguments des produits vectoriels doivent nécessairement être (i) des vecteurs isotropiques au sens donné à cet adjectif par E. Cartan dans sa théorie des spineurs [06], (ii) orthogonaux aux résidus de leur décomposition.

Ainsi, s’il existe des circonstances physiques rapportables à ces géométries euclidiennes nécessitant de considérer des produits vectoriels du type E x H dans lesquels les arguments sont des vecteurs isotropiques, alors il me semble que ces circonstances illustreraient la proposition énoncée dans [01 ; § 33, pp. 68-69] et présumée démontrée dans [03].

Les circonstances physiques admissibles.

Les circonstances physiques soi-disant décrites dans cette exploration exigent de pouvoir vérifier les relations génériques étonnantes suivantes:

E x H = - H + z

H x E = - E + Z

E2 = H2 = 0

H.z = E.Z = 0

Ceci n’est possible qu‘en transposant la discussion sur E(3, C) et en envisageant des paires ou des trios de vecteurs isotropiques.

Cela étant dit, quelques étapes logiques restent à franchir :

  1. Le produit vectoriel utilisé ci-dessus est-il reliable à un élément de longueur ? Si oui : dans quelles situations réelles ? En principe, il décrit une vitesse, v, celle de la propagation d’une onde électromagnétique plane plus ou moins polarisée :

E x H = - H + z = v

H x E = - E + Z = - v

Cette vitesse est sensée être orthogonale à chacun des arguments du produit :

H.v = E.v = 0

Ces contraintes fournissent par addition :

E x H + H x E = - E - H + z + Z = 0

Un ensemble de quatre vecteurs non-nuls dont la somme est nulle décrit ces situations. Il semble envisageable de les assimiler aux quatre vecteurs définissant les perpendiculaires aux faces d’un tétraèdre.

Tetraedre

2. Comment relier logiquement ces résultats aux considérations de la théorie de la relativité générale et, en particulier, à la proposition [01 ; § 33, p. 69] ? Le raisonnement mené dans [a] dit seulement que le contexte euclidien induit automatiquement l’existence d’une paire de vecteurs isotropiques sans préciser leur nature. Pour pouvoir être certain que ce raisonnement croise la démonstration faite dans [03] par Y. Thiry, il faut en plus montrer que cette paire de vecteurs isotropiques est forcément la paire (E, H) parce que cela relierait la planéité de la géométrie euclidienne à la nullité du champ électromagnétique. 

Il est possible de démontrer ce lien en étudiant les décompositions les plus triviales du terme gravitationnel accompagnant la version covariante de la loi de Lorentz.  

 

Spéléologie bibliographique.

J’ai tenté de retrouver les détails exacts de la référence dans laquelle la démonstration est consignée. Il semble qu’il s’agisse de la thèse d’Yves Thiry dont un extrait est paru dans [03] et dont Pierre Pigeaud rend brièvement compte dans [04] en début d’exposé ; elle en est la quatrième référence de sa bibliographie.

Le sujet de cette thèse, soutenue à Paris en 1950, a été suggéré par son maître et ami A. Lichnerowicz (membre du jury). Ce dernier se serait procuré auprès de W. Pauli le travail original de Jordan portant sur le même sujet mais publié dès le 23 mars 1948 -donc deux ans plus tôt- [05 ; § 11.1].

« Le journal des mathématiques pures et appliquées » a une longue et prestigieuse histoire remontant au début du dix-neuvième siècle (1836). Détenue par la société Elsevier depuis 1997, les archives vont des origines à 1945 et reprennent après 1956. D’après une recherche personnelle faite sur Internet, le document [03] serait encore détenu par une demi-douzaine de bibliothèque réparties en Europe (Paris Sorbonne, Meudon, Göttingen et Zürich). Les passionnés peuvent soit se rendre sur place, soit solliciter une photocopie.

Il faut retenir l’intérêt porté par Thiry aux travaux de Kaluza proposant une grande unification de la physique par une extension des travaux d’A. Einstein à un univers penta-dimensionnel.

Conclusion.

Ainsi, bien qu’il ne m’ait pas été possible de consulter la démonstration faite dans [03] de la proposition notifiée dans [01 ; § 33, p. 69], l’analyse tensorielle des produits déformés, en particulier celle du terme gravitationnel, permet bien de trouver des circonstances mathématiques semblant coïncider avec et confirmer les affirmations implicitement contenues dans l’énoncé de cette proposition.

Il reste à déterminer dans quelles mesures, ces opportunités mathématiques correspondent à des réalités physiques puisqu’elles forcent à transposer les discussions sur E(3, C). La théorie des produits tensoriels déformés jettent dès à présent un regard original sur la manière dont les ondes électromagnétiques se propagent dans le vide.

© Thierry PERIAT, 15 mai 2021.  

Bibliographie.

[01] Lichnerowicz, A. : Théories relativistes de la gravitation et de l’électromagnétisme. Paris, Editions Masson, 1955.

[02] Thiry, Y : Théorie penta-dimensionnelle de la gravitation et de l’électromagnétisme ; Séminaire Janet. Mécanique analytique et mécanique céleste, tome 2 (1958-1959), exp. n°1, p. 1 – 15.

[03] Thiry, Y. : Etude mathématique des équations d’une théorie unitaire à quinze variables de champ. J. Math. pures et appl., Série 9, t. 30, 1951, p. 275 - 396 (Thèse Sc. Math. Paris. 1950 -janvier).

[04] Pigeaud, P. : Sur les équations du mouvement en théorie de Jordan-Thiry ; Séminaire Janet. Mécanique analytique et mécanique céleste, tome 5 (1961-1962), exp. n°2, p. 1 – 10.

[05] Goenner, H. F. M.: On the history of unified field theories. Part II (ca. 1930 – ca 1965); Living Rev. Relativity, 17, (2014), 5.

[06] Cartan, E.: The theory of spinors; ISBN: 0-486-64070-1; Dover publications Inc. Copyright © 1966 by Hermann, Paris; translation of the ``Leçons sur la théorie des spineurs (2 volumes)''; Hermann, 1937.

Pour aller plus loin.

Voir la page dédiée au Calcul du déterminant stratégique en dimension quatre.

Vers la page de garde des Applications de la méthode intrinsèque.

Date de dernière mise à jour : 11/06/2021