Division des vecteurs

 

1. La division des vecteurs : motivation mathématique.

 Au cours de mon apprentissage des mathématiques (école maternelle, élémentaire, primaire, puis collège de l’enseignement général), la notion de division est progressivement apparue. Elle a d’abord concerné les nombres entiers (l’ensemble N), puis les nombres entiers relatifs (l’ensemble Z), les fractions de nombres entiers relatif (l’ensemble Q), les nombres réels (l’ensemble R) et enfin les nombres complexes (l’ensemble C). Dans ce parcours menant lentement au baccalauréat, la division des vecteurs n’est jamais apparue clairement.

L’idée de l’existence de cette division a germé au travers d’un télescopage de cours concernant les représentations matricielles des rotations dans M(3, R), le produit vectoriel dans les espaces euclidiens de dimension trois rapportés à des bases orthonormées directes et les torsions.

En effet, l’action d’une rotation représentée dans M(3, R) par la matrice carrée (3-3), [M], sur un vecteur v de l’espace vectoriel de dimension trois bâti sur le corps commutatif des nombres réels, E(3, R), peut se traduire à l’aide d’une écriture mixte mélangeant matrices et représentations duales des vecteurs :

|w > = [M]. |v >

Le vecteur w obtenu de la sorte peut également l’être après qu’un vecteur u ait agi sur la gauche du vecteur v au moyen d’un produit vectoriel :

w = u x v

Ce fait encourage à penser que le vecteur w peut être divisé de façon exacte par le vecteur v, que le résultat en est le vecteur u et que ce dernier possède au moins une représentation matricielle au travers de la relation :

u → Φ(u) = [M]

Dans une discussion prolongeant cet état d’esprit, le concept de torsion s’apparente donc à une division non exacte.

2. La division des vecteurs : un exemple physique quasiment trivial.

L’application de ces prémisses aux équations de Maxwell pour les espaces vides permet de trouver une densité volumique de force… ; voir les calculs et l’interprétation physique au point 6.a de la table des matières.

Le fait de pouvoir déduire des résultats concernant le monde réel à l’aide de manipulations mathématiques encourage à se demander s’il est possible de généraliser la démarche en déformant les produits vectoriels et en envisageant le problème dans des espaces vectoriels d’une dimension supérieure à trois.

3. La méthode intrinsèque dans les espaces de dimension trois

La recherche d’une extrapolation débute un long et passionnant périple.

Il débute par la mise au point d’une méthode de décomposition intrinsèque des produits vectoriels agissant sur des vecteurs dont les composantes sont des nombres complexes.

Son élaboration constitue un morceau d’algèbre impressionnant par sa taille. Elle s’articule autour d’un objectif simple : diviser l’image duale d’un produit vectoriel déformé en la caractérisant par une paire ([partie principale], partie résiduelle) dans M(3, C) x E(3, C) sans faire appel à d’autres ingrédients qu’une matrice déformante [A] de M(3, C) et un projectile de E(3, C) (voir la sémantique).

Le théorème initial démontre que le problème posé ne se dissocie pas de l’existence d’une polynomiale de degré deux écrite en fonction des composantes locales du projectile. La partie principale de la division (j’utilise ensuite surtout le mot décomposition) peut être formalisée lorsque cette polynomiale est propre (elle possède un vecteur singulier). Pour autant, la méthode ne dit rien sur la partie résiduelle de la décomposition ; voir le point 4.b.i de la table des matières.

4. La découverte d’une autre méthodologie applicable dans toutes les dimensions

A cause de cette insuffisance insupportable, la recherche d’une méthode plus complète s’impose.

Inspiré par des réflexions sur la notion d’incertitude sur les mesures physiques (W. Heisenberg), j’ai fini par imaginer que le mathématicien devrait accepter, lui aussi, le principe que la recherche des solutions aux problèmes qu’il se pose ne livre que des réponses approximatives.

A vrai dire, il y a déjà fort longtemps que certaines solutions ne sont atteintes que par réitération d’algorithmes.

La méthode extrinsèque part du principe que nos calculs s’effectuent dans un contexte, par exemple géométrique, et que celui-ci doit peu ou prou influencer les résultats des opérations effectuées, en particulier donc : les divisions des vecteurs aussi.

C’est ainsi que naît la méthode consistant à vouloir comparer (i) un scalaire associé avec une décomposition approximative -mais la plus exacte possible- d’un produit tensoriel déformé et (ii) un développement limité à l’ordre deux d’une polynomiale de degré deux. Elle livre rapidement le formalisme générique des décompositions ; quand la comparaison est possible.

Là aussi, rien n’est parfait. Si l’annulation de l’erreur d’approximation sur une décomposition annule bien de facto son scalaire associé, l’inverse est faux. Il faut donc toujours accompagner la réalisation de la méthode extrinsèque d’un test logique. Enfin, un autre mystère surgit avec l’usage de la méthode extrinsèque. Pour un produit vectoriel déformé donné, elle ne fournit pas a priori la même partie principale que la méthode intrinsèque !

Voir le point 4.a.i de la table des matières.

5. La confrontation des méthodes.

Le problème laissé en suspens par les deux méthodes peut se résoudre par une confrontation des deux approches ; voir le point 6.e de la table des matières.

6. La limite euclidienne.

Un autre problème accompagne la découverte du formalisme des parties principales intrinsèques. Il n’a pas de lien apparent avec celui, trivial et attendu, pour le cas où la géométrie est euclidienne. L’énigme est levée dans une étude faisant appel aux spineurs de E. Cartan pour les espaces de dimension trois ; voir le point 6.c de la table des matières.

© Thierry PERIAT.

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Date de dernière mise à jour : 08/04/2021