Méthodes mathématiques

Les méthodes mathématiques de la théorie de la question (E).

Motivations et histoire.

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 Il est temps de faire le point, de raconter un peu l’histoire de cette théorie et de se retourner sur le chemin parcouru pendant dix-huit ans. Toutes les tentatives visant à apprendre, comprendre mieux et diffuser un peu de savoir - même celles qui semblent avoir échoué ou ne mener nulle part- portent avec elles une lumière d’espoir. Emettre une hypothèse et démontrer qu’elle est fausse servira à des milliers d’autres équipes de recherche. La démarche leur évitera de perdre du temps.

Parfois, l’échec n'est pas technique, il est humain. La théorie est acceptable mais elle n’attire pas l’attention et se perd dans le brouhaha médiatique ou l’agitation des actes nécessaires à la survie quotidienne. Et puis l’actualité professionnelle, familiale ou politique prend le pas sur les extrapolations intellectuelles de quelques chanceux ayant tout leur temps pour méditer en profondeur sur les lois physiques régissant la nature.

La théorie de la question (E) : qu’est-ce ? En essence : juste un approfondissement du calcul tensoriel et du concept de division pris au sens large du terme pris dans un contexte mathématique. Pour faire comprendre le fil conducteur de mes idées peut-être est-il plus simple et judicieux de positionner le propos dans un espace ayant trois dimensions. Les esprits peuvent ainsi plus aisément se faire une image mentale de la discussion.

L’idée intuitive première sur laquelle repose les premières briques de ma théorie tient en une phrase : « La définition de nos techniques habituelles de calcul (addition, multiplication, produit scalaire, tensoriel ou vectoriel de deux vecteurs, etc.) est commandée sans que nous en ayons une claire conscience par la géométrie de l’espace dans lequel nous vivons ».

Dis autrement, ou inversement, une théorie souhaitant décrire les déformations effectives de la géométrie - et nous savons que ces déformations existent dans la nature (effet Thirring-Lense, ondes gravitationnelles, trous noirs, etc.) devrait idéalement modifier la définition des opérations réalisées dans un contexte euclidien de telle sorte que ces modifications rendent compte de la nouvelle géométrie.

Cette idée n’est pas vraiment nouvelle et certains ne manqueront pas de la faire remonter à Riemann avec sa généralisation du théorème de Pythagore. Les composantes du tenseur métrique traduisent les modifications à apporter au calcul des distances. Inutile de rappeler à quel point cette formule a marqué un tournant important dans l’histoire des mathématiques (au travers de l’étude de la covariance) et de la physique (au travers de la théorie de la gravitation d’A. Einstein).

Mon propos initial (il y a une bonne vingtaine d’années) était de généraliser la démarche au produit vectoriel dans les espaces mathématiques de dimension trois puis au produit dit extérieur et enfin à celui de Lie dans les espaces de dimension supérieure à trois.

Il m’a fallu de nombreuses années pour fixer l’idée, écrire le vocabulaire lui correspondant (la sémantique) et stabiliser les définitions généralisées des opérations citées précédemment. Mes extensions théoriques du produit extérieur et du produit de Lie ne peuvent finalement pas être strictement comparées avec leurs homonymes ni avec le produit de Hodge car elles sont en réalité des opérations internes aux espaces sources sur lesquelles elles sont définies.

Une fois cette première étape réalisée, ou plus exactement en même temps que je la réalisais, j’ai élaboré des méthodes permettant de diviser ces produits déformés sans savoir au départ si elles auraient un jour une quelconque utilité. A cause de la manière dont j’avais obtenu les résultats de mon premier travail sur les équations de Maxwell dans le vide (lien externe zenodo.org), je savais seulement que j’avais besoin de mettre au point ces techniques pour généraliser la formule donnant la densité volumique de force dans les régions vides.

C’est ce que j’ai entrepris ensuite, sans doute inconsciemment encouragé par la teneur d’un propos d’E. Picard (Citation [01]) : « Toute théorie physique, suffisamment élaborée, prend nécessairement une forme mathématique ; il semble que les actions et réactions entre l’esprit et les choses ont amené peu à peu à former des moules où peut, partiellement au moins, s’insérer le réel. Certes, beaucoup de concepts créés par les mathématiciens n’ont pas trouvé encore d’applications dans l’étude des phénomènes physiques, mais l’histoire de la science montre qu’il était téméraire d’affirmer que telle ou telle notion ne sera pas un jour utilisée. (fin de citation) ».

© Thierry PERIAT.

Vers le chapitre consacré aux "Outils mathématiques".

Bibliographie :

[01] E. Picard, Allocution, Comptes rendus du Congrès International des Mathématiciens, Strasbourg, 22-30 septembre 1920, éd. par Henri Villat, Imprimerie et Librairie Ed. Privat, Toulouse, 1921.

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Etudes des applications des diverses méthodes.