Méthodes mathématiques

Les pages ci-dessous exposent l'esprit de méthodes mathématiques destinées à permettre la décomposition de produits tensoriels déformés. 

Elles ont de nombreuses applications en physique :

applications de la méthode extrinsèque - applications de la méthode intrinsèque.

Opération binaire :

Dans le langage de la théorie, une opération f est dite binaire lorsqu’elle implique deux arguments.

Le projectile :

L’argument sur lequel une opération binaire agit en premier est un projectile.

La cible :

L’argument sur lequel une opération binaire agit en second est une cible.

Exemple 01 :

Concrètement, soit un E un ensemble quelconque, et soit (a, b) une paire d’éléments dans cet ensemble. L’élément a est un projectile et l’élément b est une cible. Une opération binaire f les fait interagir pour donner f(a, b).

Opération binaire interne (resp. externe) :

Si dans l’exemple générique cité ci-dessus, le résultat f(a, b) de l’interaction est encore dans l’ensemble E, alors l’opération binaire est dite interne sur E ; dans le cas contraire, elle est dite externe.

Objet mathématique :

Tout ensemble d’éléments choisis dans un ensemble E donné et ordonné au sein des dimensions physiques est un objet mathématique.

  • Un élément a de E constitue le plus petit objet mathématique possible : {a} 0(E).
  • Une colonne |aα> et une ligne <aα| d’éléments choisis arbitrairement dans E constituent des objets mathématiques de dimension physique un : |aα>, <aα| 1(E).
  • Les matrices de M(D1 x D2 ; E) sont des objets mathématiques de dimension deux, éléments de 2(E).
  • Les cubes d’éléments choisis arbitrairement dans E et répartis sur les nœuds de l’une des structures cristallines spatiales rencontrées dans la nature sont des objets mathématiques de dimension physique égale à trois ; comme tels, ils sont des éléments de 3(E).
  • Si l’imagination permettait de poursuivre …

Cube :

Dans cette théorie, un cube est un élément de 3(E) ayant la structure cubique composé de D matrices carrées de M(D ; E).

Produit tensoriel :

Le produit tensoriel de deux éléments choisis dans l’espace vectoriel E(D ; K) de dimension entière D supérieure ou égale à un, bâti sur un corps K et rapporté à sa base canonique Ω est une opération binaire notée f = et telle que :

Ω : (e0, …, eα, …, eD-1) ED(D ; K), " a, b E(D ; K) : (a, b) = aα. bβ. eα eβ

Produit tensoriel interne ou déformé :

Le produit tensoriel est dit interne ou déformé lorsqu’il existe un cube A d’éléments de E permettant d’écrire :

A 3(E), : ea Ω : eα eβ = Aχαβ. eχ

Le cube A est ici un objet mathématique de dimension physique égale à trois déformant le produit tensoriel classique de manière à le rendre interne sur E.

© Thierry PERIAT.