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Les mathématiques sont une gymnastique de l'esprit et une préparation à la philosophie.
Isocrate
Méthodes mathématiques
La théorie de la question (E) ou pourquoi étudier la division des vecteurs ?
Une question anodine mais piégeante
Un moyen simple et pédagogique de présenter l’idée sous-jacente à ma quête tient peut-être dans cette petite histoire. Admettons que je pose à l’improviste et sans préalable la question : « Que vaut six divisé par deux ? » Je parie que la grande majorité des réponses fusant depuis l’auditoire sera : « trois » Certes, c’est vrai, mais pas toujours ! « Pourquoi ? »
L'importance de préciser le domaine dans lequel la question est posée
Parce que tout dépend de l’ensemble de nombres dans lequel la question initiale est posée. Son énoncé imprécis invitait à penser qu’elle concernait des nombres entiers positifs, N. Mais ce contexte constitue un parmi de nombreux autres. Le fait de ne pas avoir précisé celui-ci a laissé la place à une libre interprétation dans le cerveau de l’auditoire. Par commodité et par une forme insidieuse mais fort compréhensible de paresse, il a porté son choix sur N.
Pourtant, un parcours scolaire habituel se caractérise par l’apprentissage de divers corps de nombres ; par ordre chronologique d’apparition, il s’agit souvent des nombres :
– entiers (l’ensemble N),
– relatifs (l’ensemble Z),
– rationnels qui sont des fractions de nombres entiers relatif (l’ensemble Q),
– réels (l’ensemble R),
– complexes (l’ensemble C),
– de Hamilton (l’ensemble H des quaternions)
– octonioniques (l’ensemble O).
Par conséquent, la question aurait été posée correctement si elle avait d’emblée précisé l’ensemble dans lequel il convenait de la traiter et d’y répondre. Ainsi, la question reformulée sous la forme : « Que vaut six divisé par deux lorsque la discussion a lieu dans R ? » aura une infinité de réponses et non plus une seule ; par exemple : 6 = 2,5 x 3 – 1,5.
Le résultat d'une division est toujours une paire d'arguments
… et même lorsque la réponse sera triviale (par exemple celle qui est formulée sur N), il sera judicieux de remarque que le résultat d’une division sera en réalité toujours constitué, non pas d’un nombre, mais d’une paire de nombre. Dans l’exemple trivial il s’agit de la paire (3, 0) et dans le second exemple de la paire (2,5, -1,5).
Transposition du concept de division aux vecteurs
Pourquoi m’est-il un jour venu l’idée de mettre au point des méthodes mathématiques pour diviser les vecteurs ?
La raison est simple et je vais immédiatement vous la livrer.
Dans ce parcours menant un peu au-delà du baccalauréat, la division des nombres apparait avec les nombres rationnels.
En revanche, la division des vecteurs n’est jamais évoquée clairement ; sauf peut-être au travers du concept des classes d’équivalence.
Par définition, un espace vectoriel est bâti sur un corps. Un vecteur est un élément d’un espace vectoriel. Les vecteurs étant toujours des éléments dont les composantes appartiennent à l’un des ensembles cités ci-dessus, l’introduction au concept de division expliquée ici peut facilement être appliquée à leurs composantes.
Au détail important près qu’une difficulté supplémentaire apparait. Au lieu de diviser chaque composante par un nombre donné, il devient possible d’envisager la division d’un vecteur ayant D composantes par un autre vecteur ayant également D composantes ; D étant un élément de N – {0}, c’est-à-dire un entier naturel positif non-nul. Il y a probablement de multiples procédés permettant de réaliser une telle opération.
Mais pourquoi étudier la division des vecteurs ?
Ma réponse : exactement pour les mêmes raisons que celles poussant à choisir instinctivement de répondre à la question initiale « Que vaut six divisé par deux ? » comme si elle avait forcément été posée dans l’ensemble de entiers naturels positifs alors que ce point n’avait jamais été précisé et faisait partie des non-dits.
Je m’explique. L’observation de la nature livre des intuitions qui s’avèrent souvent fausses. Un point que C. Rovelli a clairement développé dans son livre : « L’ordre du temps ». Par exemple, les humains ont souvent cru que le soleil tournait autour de la terre, que la terre était plate, etc.
Je pense qu’un mécanisme similaire peut s’insinuer insidieusement dans nos façons de calculer ; pourquoi ? Parce que, tout comme le poisson est incapable de se rendre compte de l’eau dans laquelle il nage, nous autres humains ne percevons plus consciemment la géométrie dans laquelle nous vivons. Or il se pourrait bien que cet acteur devenu invisible à force d’être omniprésent influence d’une manière ou d’une autre nos procédures de calcul.
J’illustre abondamment cette idée au sein de l’étude des produits de Lie déformés et de leurs décompositions. Le produit vectoriel, mieux connu des élèves préparant leur baccalauréat suffit à expliciter l’idée que je défends.
La projection d’un produit vectoriel défini dans une ambiance euclidienne classique, par exemple a x b, dans l’espace vectoriel dual s’écrit |a x b> avec l’aide des conventions de Dirac. Tout comme nous pensons spontanément que 6 = 3 x 2, cette projection se laisse trivialement décomposer en F(a).|b>. Or rien ne permet d’affirmer qu’il s’agit de l’unique manière de diviser l’image duale du produit vectoriel. A l’instar de la démarche expliquée plus haut pour les nombres, une division générique pourrait très bien prendre le formalisme :
|a x b> = [P].|b> + |z>
Il se pourrait bien qu’un petit démon caché au milieu des lois de la nature s’évertue sans cesse à créer de petits écarts avec la division sensée être la plus naturelle.
La théorie de la question (E) entreprend donc d’approfondir systématiquement cette démarche. Elle semble d’autant plus justifiée que la théorie de la gravitation d’A. Einstein nous a depuis longtemps convaincu que le contexte géométrique naturel peut varier.
Mise au point de méthodes mathématiques
L’idée de l’existence de ce type de division a germé au travers d’un télescopage entre plusieurs cours concernant respectivement :
- Les représentations matricielles des rotations dans M(3, R),
- Le produit vectoriel dans les espaces euclidiens de dimension trois rapportés à des bases orthonormées directes,
- Les torsions.
En effet, soit une rotation représentée dans M(3, R) par la matrice carrée (3-3), [M]. Soit l’espace vectoriel de dimension trois bâti sur le corps commutatif des nombres réels, E(3, R). L’action de cette rotation sur un vecteur v de E(3, R) se laisse en général représenter. Un exemple de représentation est une écriture mixte mélangeant matrices et représentations duales des vecteurs. Elle s’effectue dans E*(3, R) :
|w >= [M]. |v >
Le vecteur w obtenu de la sorte peut éventuellement l’être après qu’un vecteur u ait agi sur la gauche du vecteur v au moyen d’un produit vectoriel :
w = u x v
Ce fait encourage à penser que le vecteur w peut parfois être divisé de façon exacte par le vecteur v. Dans ce cas, le résultat en est le vecteur u. Cette manière de penser semble recevable dès le moment où il existe une application F surjective de E(3, R) vers M(3, R) telle que :
u -> F(u) = [M]
L'exemple simple et habituel de la torsion
Le vecteur w aurait pu être obtenu au moyen de toute autre opération vectorielle qui serait génériquement notée f :
w =f(v)
Cette opération peut par exemple être une torsion. Auquel cas il convient d’écrire une relation du genre :
|f(v)> = [Rotation].|v> + |Translation>
Autrement dit, f se comprend comme une fonction agissant a priori sur un vecteur v de sorte à pouvoir écrire :
f = F([Rotation], translation)
Dans ce cas, chaque fois qu’il est possible d’écrire :
w = F([Rotation], translation)(v)
Cette fonction s’apparente clairement à une division non exacte du vecteur w par le vecteur v.
La paire ([Rotation], translation) est la représentation du résultat de cette division.
Un exemple physique simple mais plein de conséquences
L’application de ces prémisses aux « équations de Maxwell pour les espaces vides» permet de prouver l’existence d’un courant de force neutre.
Pour rappel, les régions vides constituent l’écrasante majorité des volumes de l’univers. Elles sont le terrain de prédilection de la cosmologie.
Le fait de pouvoir déduire des résultats concernant le monde réel à l’aide de manipulations mathématiques encourage à se demander s’il est possible de généraliser la démarche.
C’est l’objectif que se fixe la théorie de la question (E) :
- D’abord dans les espaces de dimension trois en déformant les produits vectoriels ;
- Puis en envisageant l’extrapolation de ce problème aux espaces vectoriels d’une dimension supérieure à trois.
La méthode dite intrinsèque dans les espaces de dimension trois
Pour réaliser la première étape de ce projet, il est nécessaire de :
- Définir les données élémentaires de la problématique abordée ;
- Mettre au point des méthodes mathématiques permettant de diviser les produits vectoriels déformés.
Le principe de l'existence de déformations contextuelles
La démarche justifie l’existence de déformations des produits vectoriels classiques par le fait que :
- Tous nos calculs s’effectuent toujours dans un contexte donné. L’environnement géométrique est le contexte usuel. Au sein des mathématiques, il n’y a pas de raison à ce qu’il soit le seul.
- Ce contexte influence peu ou prou les résultats des opérations qui y sont effectuées. Ceci vaut en particulier pour les divisions des vecteurs.
Ce principe peut bien entendu s’appliquer dans les espaces dont la dimension est supérieure à trois. Il faut juste prendre soin de définir une extrapolation du produit vectoriel qui soit une opération interne.
Cette exigence interdit d’emblée d’utiliser le produit (dit) extérieur.
Résumé des caractéristiques de la méthode pour les espaces de dimension trois
La méthode dite intrinsèque s’applique aux produits vectoriels déformés agissant sur des vecteurs dont les composantes sont des nombres complexes.
Son objectif : diviser l’image duale d’un produit vectoriel déformé en la caractérisant par une paire ([partie principale], partie résiduelle) dans M(3, C) x E(3, C).
Ici :
f = F([A], u)
|w> = |[u, v][A]> = [partie principale].|v> + |partie résiduelle>
Elle est intrinsèque parce qu’elle fait uniquement appel à la matrice déformante [A] de M(3, C) et au projectile u de E(3, C) ; voir la page expliquant « la sémantique ».
La démonstration contient deux grandes parties ; chacune aboutit à un théorème :
- Le théorème initial démontre que le problème posé ne se dissocie pas de l’existence d’une polynomiale de degré deux écrite en fonction des composantes locales du projectile.
Il permet d’introduire deux classes de polynomiales : propres (classe I) et impropres (classe II). La seconde fait l’objet d’une étude à part ; la découvrir.
- Le théorème de reconstruction ; il permet, pour chaque catégorie, de formaliser la partie principale de la division (j’utilise ensuite surtout le mot décomposition).
Titre : Dissertation sur les décompositions des produits vectoriels déformés.
Auteur : © Thierry PERIAT.
Immatriculation BNF : 978-2-36923-036-6, EAN 9782369230366.
Version : 4.
État d’avancement au : 5 avril 2024.
Langue : FR.
Nombre de pages : 40.
Première partie de l’exposé seulement.
Découvrir le document : (.pdf)
Les imperfections de la méthode intrinsèque dans les espaces tridimensionnels
Pour autant, la méthode intrinsèque s’accompagne de deux problématiques :
- Elle ne dit rien sur la partie résiduelle de la décomposition. Comme le démontrent des calculs ultérieurs, le résidu des décompositions a cependant un rôle essentiel en physique.
- Le formalisme des parties principales intrinsèques ne coïncide pas systématiquement avec celui attendu pour le cas où la géométrie est euclidienne. Cette difficulté est levée en contraignant la discussion mathématique à se dérouler sur E(3, C). Elle fait alors apparaitre des paires de « spineurs » (avec le sens donné par E. Cartan à ce nom). Ces paires jouent un rôle fondamental lors de l’étude de la structure de l’espace {E(3, C), […, …][A]}. En effet, elles permettent de le doter d’une structure d’algèbre de Lie. En savoir plus …
Le principe d’incertitude appliqué aux mathématiques
La première des deux insuffisances impose la mise au point d’une méthode plus complète.
Celle que j’ai obtenu s’inspire du principe d’incertitude sur les mesures physiques énoncé W. Heisenberg.
Je le transpose aux mathématiques en admettant a priori que la recherche des solutions aux problèmes posés :
- Ne livre parfois que des réponses approximatives ;
- Exige la réitération d’algorithmes augmentant l’exactitude de ces réponses.
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Caractéristiques de la méthode extrinsèque
La dimension trois pour exemple pédagogique
Je décris ici l’état d’esprit dans lequel cette méthode est développée en l’appliquant aux produits vectoriels déformés.
Il sera ensuite possible de généraliser la démarche aux espaces vectoriels de dimension supérieure à trois lorsque ceux-ci sont équipés d’un produit tensoriel déformé.
Une spécificité technique des espaces de dimension trois
L’application de l’idée à la dimension trois est rendue possible grâce à une spécificité technique. A savoir, un produit vectoriel déformé n’est rien d’autre qu’un produit tensoriel déformé par un cube (3-3-3) antisymétrique (ou anti-réduit).
L’anti-symétrisation (resp. l’anti-réduction) étant faite, le cube déformant A devient une matrice [A].
Application du principe d’incertitude dans sa version mathématique
Arrivé à ce stade, le principe d’incertitude appliqué aux mathématiques permet d’affirmer en général que :
|w> = |[u, v][A]> est différent de [partie principale].|v> + |partie résiduelle>
Une conséquence immédiate de ce principe est qu’il existe en général une différence vectorielle a priori non nulle :
|D> = |[u, v][A]> – {[partie principale].|v> + |partie résiduelle>}
Une conséquence indirecte est la possibilité de construire deux produits « scalaires associés » à cette différence vectorielle : l’un avec le projectile et l’autre avec la cible.
Par exemple, dans un contexte caractérisé par la matrice [G] de M(3, C) :
s([G], u) = < u, D >[G]
s([G], v) = < v, D >[G]
L’essence de la méthode extrinsèque
La première mouture de l’ensemble des « méthodes dites extrinsèques » consiste à vouloir simultanément :
Comparer :
- Chaque (produit) scalaire associé à une décomposition d’un produit tensoriel déformé ; avec un développement limité à l’ordre deux d’une polynomiale de degré deux ;
- Recenser les conditions annulant le scalaire associé.
La méthode est praticable même si elle s’accompagne de quelques modestes contraintes. Elle livre rapidement le formalisme générique complet des décompositions recherchées.
Découvrir le document (.pdf) présentant les grands principes
Les imperfections de la méthode extrinsèque
Pour autant, ici aussi, l’usage de la méthode s’accompagne de difficultés :
- Si l’annulation de la différence vectorielle D entraine bien celle des produits scalaires associés, l’inverse est faux. En effet, l’orthogonalité de la différence vectorielle D avec l’un des deux arguments du produit déformé suffit à annuler le produit scalaire associé. Il faut donc toujours accompagner la réalisation de la méthode extrinsèque d’une analyse logique des circonstances dans lesquelles elle est utilisée.
- Pour un produit vectoriel déformé donné, la méthode extrinsèque fournit une partie principale dont le formalisme diffère de celui livré par la méthode intrinsèque ! Il est donc impératif de rechercher les conditions autorisant la coïncidence entre les deux résultats.
A la recherche d’une méthode complète applicable dans toutes les dimensions
La difficile mise au point de la méthode intrinsèque en dimension quatre.
Les calculs algébriques menés en dimension trois devraient en principe être réitérés en dimension quatre.
Ce qui est une tâche quasiment inhumaine.
Le théorème initial peut facilement se généraliser pour les cubes antisymétriques.
L’étude livre un polynôme de degré trois écrit en fonction des quatre composantes du projectile.
La méthode dite de montée à la dimension supérieure.
L’étude systématique des méthodes permettant de diviser des produits tensoriels déformés offre une troisième opportunité.
Son principe repose sur les célèbres figurines du folklore slave.
De fait, elle examine comment trouver une décomposition en dimension D + 1 quand celle-ci est connue en dimension D.