Décomposition d'Helmholtz

Comment remplacer une différence par un produit vectoriel.

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Titre : PERIAT, T. : Variation des fonctions vectorielles et décompositions d'Helmholtz, ISBN 978-2-36923-098-4, EAN 9782369230984, 25 octobre 2020, 29 pages.

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Commentaires :

 Dans ce document, j’étudie un problème en apparence assez simple se résumant à la question suivante : « Peut-on remplacer le calcul des variations ordinaires d’ordre un d’une fonction vectorielle f dépendant de trois fonctions numériques par le calcul d’un produit vectoriel classique ? » Plus précisément peut-on écrire -et si oui : quand- :

|df > = [P]. |dx> = |q x dx + 0(2)>

Pour répondre à cette question, je me sers du fait que les produits vectoriels classiques définis dans les espaces euclidiens tridimensionnels peuvent être déformés, par exemple par la topologie sous-jacente.

Je démontre à l’aide de l’utilisation concomitante des méthodes de décomposition (intrinsèque et extrinsèque) l’existence d’une réponse positive à la question posée lorsque la polynomiale L(q) intrinsèquement associée au produit vectoriel ci-dessus est propre, continue, de classe C2 mais non-proportionnelle à la polynomiale qui aurait été associée de manière extrinsèque à ce même produit.

La logique utilisée ici mène au résultat surprenant (voir les explications détaillées au sein du document) :

q = ½. rotx f + µ. [A]a

J’analyse ensuite ce résultat à l’aune du théorème (de la décomposition dite) d’Helmholtz.

Chemin faisant, certains objets mathématiques apparaissent qui invitent à penser que la démarche pourrait être utile au sein d’une recherche concernant l’élaboration d’une théorie expliquant l’origine des masses des neutrinos.

© Thierry PERIAT, 30 octobre 2020.

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Date de dernière mise à jour : 10/09/2021