Déterminant en dim4

Calcul du déterminant stratégique.

Point 4. b. iii de la table des matières, document ISBN 978-2-36923-099-1, EAN 978369230991 (un mot de passe est nécessaire pour accéder au contenu) :

Tetraedres in 4dv3Tetraedres in 4dv3 (376.46 Ko), 10 pages, version du 4 mai 2021.

Le déterminant stratégique est cette quantité mesurant l’écart éventuel entre une décomposition non triviale et une décomposition triviale d’un produit tensoriel déformé donné. Son rôle essentiel a été démontré dans la discussion concernant les espaces de dimension trois au sein d’une exploration visant à mettre au point une méthode intrinsèque de décomposition des produits vectoriels déformés.

Le document exposé au point 4.b.iii entreprend les premiers pas du calcul du déterminant stratégique dans les espaces de dimension quatre. La complexité d’un calcul général in extenso du même genre que celui opéré pour les espaces de dimension trois fait choisir de commencer plus modestement. Il se concentre donc sur le cas des cubes antisymétriques puis réduits latéralement. La manœuvre ramène ces cubes à des éléments de l’espace vectoriel E(4, K) où K désigne un corps commutatif de caractéristique différente de deux dans la quasi-totalité de mes exposés ; typiquement, K = R ou C.

{Aacb + Aacb = 0, Aacb + Abca = 0} A A

L’intérêt de ce choix ne réside pas seulement dans la simplification des calculs. Il met en évidence que la décomposition triviale est une matrice antisymétrique représentant un bi-vecteur ; le premier étant le cube antisymétrisé et réduit, le second étant l’argument de la matrice triviale de décomposition, c’est-à-dire en fait le premier argument (le projectile) du produit de Lie déformé dont les décompositions sont étudiées.

{Aacb + Aacb = 0, Aacb + Abca = 0}   AΦ(a)   A a

Un résultat général de cette théorie est que le déterminant des décompositions triviales des produits de Lie déformés est nul (voir le document sur l'introduction de la topologie).

|AΦ(a)| = 0

Il en découle en particulier ici que le déterminant stratégique recherché a forcément le formalisme générique :

D = |[P] - AΦ(a)| = dabcd. aa. ab. ac. ad + dabc. aa. ab. ac + dab. aa. ab + da. aa

Les calculs mettent de plus en exergue une propriété caractéristique de la vectorialisation des cubes. Plus précisément, soit E et H les deux vecteurs de E(3, C) implicitement contenus dans la représentation matricielle d’une décomposition triviale du type ci-dessus. Il se trouve que les termes de degré quatre du déterminant stratégique s'écrivent :

D - { (dabc. ab. ac + dab. ab + da). aa} = (E. H)2

Ainsi, les composantes et les orientations relatives des vecteurs E et H représentés par la décomposition triviale générique étudiée déterminent les valeurs des termes de degré quatre du déterminant stratégique lorsque le cube A a été vectorialisé.

A quoi cette exploration peut-elle servir concrètement ?

1. Cette propriété remarquable permet d'explorer le comportement des ondes électromagnétiques planes non polarisées et de comprendre que la propagation de la lumière dans le vide se laisse possiblement décrire par un ensemble de trois produits vectoriels déformés.

2. Dans le vide, la vitesse de propagation v de l'onde électromagnétique est orthogonale au plan formé par les vecteurs E et H. Par ailleurs, la propagation n'est pas perturbée (synonyme : elle est linéaire). De sorte qu'elle est parfaitement décrite par v = v. e, expression dans laquelle e désigne un vecteur unitaire. Bilan : l'expression précédente se laisse parfois réécrire plus simplement sous la forme d'un polynôme de degré trois écrit en fonction de la seule variable v (à un facteur près). Les solutions peuvent être découverte grâce à l'usage de la méthode de Tartaglia - Cardan. Elles sont au nombre maximum de trois. Chaque solution correspond à une énergie. Ce mécanisme peut peut-être expliquer en partie la question des trois niveaux énergétiques possibles pour une même famille de particule. 

© Thierry PERIAT, 7 mai 2021.

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Date de dernière mise à jour : 10/05/2021