La-méthode-intrinsèque.

Titre : Décompositions intrinsèques des produits vectoriels déformés.

Auteur : © Thierry PERIAT.

Immatriculation : ISBN 978-2-36923-036-6 / EAN 9782369230366.

Langue : FR.

Version : 2.

Nombre de pages : 27.

Date de parution : 14 août 2018.

Document : Isbn 36 6 decomposition intrinseques 3dIsbn 36 6 decomposition intrinseques 3d (448.78 Ko) ; si vous préférez, ce document est également accessible sur zenodo.org.

Commentaires :

Les produits vectoriels classiques peuvent être déformés puis décomposés, éventuellement non-trivialement.

Dans cette théorie, les déformations des produits vectoriels s’appuient sur des cubes (3-3-3) dont les composantes ont la propriété d’être antisymétriques par inversion des indices bas ; voir la sémantique. Ce choix a pour effet de réduire ces cubes à des éléments de M(3, K = R ou C).

Les décompositions étudiées concernent donc des produits du genre [a, ][A] et elles s’écrivent génériquement dans l’espace dual E*(3, K) :

|[a, ][A]> = [P].|> + |z>

Quelle que soit la cible … de E(3, K), décomposer un produit vectoriel déformé revient finalement à préciser la manière dont fonctionne l’application interne sur M(3, K) x E(3, K) telle que :

([A], a) ® ([P], z)

La démarche permettant de répondre à cette interrogation se sert de la quantité discriminante :

L(a) = |[P] – [A]F(a)| = dij. ai. aj + di. ai + d

Il s’agit d’une polynomiale de degré au plus égal à deux (voir « le théorème initial » dans le document). La démarche se poursuit en calculant la Hessienne de cette polynomiale.

[S0] = [Hess (a, 0) L(a)]

Les solutions se partagent ensuite en deux grandes familles selon que cette Hessienne est ou non dégénérée.

  • Lorsqu’elle n’est pas dégénérée, |S0| ¹ 0 :

Il est possible de prouver que la partie principale de la décomposition prend la forme standardisée :

[P] = |A|. {[A]t. [J]}. {½. [S0] + (1/|A|). [J]F(Ls)}

|Ls> = - [S0]-1.|d*>

d* : (d1, d2, d3)

|A| = ±1

Le vecteur s est le vecteur singulier (unique) associé avec la polynomiale L. La méthode exposée ne donne aucune indication sur le reste z. Ce défaut sera corrigé par un usage combiné de la méthode intrinsèque avec la méthode extrinsèque.

  • Lorsqu’elle est dégénérée, |S0| = 0 :

 

Il est possible de trouver des paires de bi-vecteurs - c’est-à-dire des éléments de E2(3, K), soit (u, w) l’une d’entre elles- telles que :

[S0] = ½. [J]F(u Ù w) + ½. {T2(o)(u, w) + Tt2(o)(u, w)} = T2(o)(u, w)

Ce formalisme mime exactement celui du noyau d’une décomposition non triviale pour le cas des Hessiennes non-dégénérées :

 

[N] = ½. [Hess (a, 0) L(a)] + (1/|A|). [J]F(Ls)}, |A| = ±1

               à condition de trouver une polynomiale notée Y(X) telle que :

(1/|A|). S = ½. (u Ù w)

[Hess (a, 0) Y(X)] = T2(o)(u, w) + Tt2(o)(u, w)

L’étude menée à ce jour sur le cas des Hessiennes dégénérées ne dit pas ce que représente le vecteur X, ni son lien avec le vecteur S. Elle demande à être poursuivie et complétée.

Ces résultats sont longtemps restés orphelins à cause :

  • de la taille de la démonstration,
  • de leur apparence illogique ; en effet, le projectile impliqué dans le produit vectoriel déformé n’apparait que très indirectement alors qu’une décomposition triviale livre simplement :

|[a, ][A]> = [A]F(a). |>

([A], a) ® ([A]F(a), 0)

  • et du peu d’intérêt porté par la communauté scientifique à cette démarche algébrique.

Ils trouvent cependant aujourd’hui un relief particulièrement intéressant dans une confrontation avec la méthode extrinsèque qui peut être utilisée pour découvrir les décompositions non-triviales de ces mêmes produits vectoriels déformés ; voir à ce sujet la page dédiée à la décomposition de Helmholtz.

Par ailleurs, cette investigation initiale fait l’objet de développements complémentaires indispensables à une meilleure compréhension du sujet qui sont consignés dans le document consacré à l’étude de l’involution sur les espaces vectoriels munis d’un produit tensoriel déformé.

© Thierry PERIAT.

Retour vers la page dédiée aux « Méthodes mathématiques ».

Date de dernière mise à jour : 28/05/2022

  • Aucune note. Soyez le premier à attribuer une note !