Méthode intrinsèque

Partie principale des décompositions intrinsèques des produits vectoriels déformés.

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Auteur : Thierry PERIAT

Titre : Décomposition des produits vectoriels déformés, ISBN 978-2-36923-036-6, EAN 9782369230366, 14 août 2018, 27 pages.

Document : Ce document est accessible (Version v20180814) sur : Zenodo. https://doi.org/10.5281/zenodo.2653623.

Le théorème initial :

Dans les espaces de dimension trois, les produits vectoriels déformés du type générique [a, ][A] acceptant une décomposition non-triviale ([P], z) dans M(3, C) x E(3, C) sont automatiquement associés à une polynomiale Λ(a) = |[P] – [A]Φ(a)| de degré deux écrite en fonction des trois composantes du projectile, a ; voir dans le document : le théorème initial.

 

Intérêts de la méthode :

Comme il est possible de s'en rendre compte en parcourant le travial exposé sur ce site, ce résultat a de nombreuses conséquences et applications en physique.

 

Commentaires :

Il existe en réalité deux types de décompositions selon que la polynomiale Λ(a) est ou non dégénérée (autre vocabulaire : propre).

Les polynomiales propres génèrent des noyaux de type I tandis que celles aui sont impropres génèrent des noyaux de type II.

Les noyaux de type I se distinguent par le fait que la Hessienne [S0] = [Hess(a, 0)Λ(a)] de cette polynomiale est inversible et que celle-ci possède un vecteur singulier s.

Dans ce cas, la partie principale [P] de la décomposition non-triviale d’un produit vectoriel déformé s’écrit génériquement :

[P] = {[A]t. [J]}. {½. [S0] + (1/A|). [J]Φ(Ls)} avec |A| = ±1

Où :

  • la matrice carrée de M(3, C), [A], caractérise la déformation apportée au produit vectoriel classique qui sinon est conventionnellement défini par la matrice [J].

 

  • on peut considérer que la matrice [J] est une représentation d’une racine sixième de l’unité dans l’espace des nombres complexes.

 

  • la matrice carrée (3-3) [J]Φ(s) est la partie principale triviale de la décomposition de n’importe quel produit vectoriel classique du type :

 

|s > = [J]Φ(s). |>

Ce résultat est le fruit d’une longue démonstration consignée initialement dans le document ISBN 978-2-36923-036-6, v1 du 16 octobre 2014. Il a été traduit en anglais où il est visible dans le document ISBN 978-2-36923-084-7 du 28 juin 2016. Il a également été incorporé au document francophone ISBN 978-2-36923-063-2 du 14 avril 2015 le confrontant avec ce que la physique dit au sujet des électrons de Bloch et finalement à la version anglophone de ce dernier.

Ce résultat est longtemps resté orphelin à cause :

  • de la taille de la démonstration,

 

  • de son apparence illogique (En effet, le projectile impliqué dans le produit vectoriel déformé n’y apparait que très indirectement alors qu’une décomposition triviale livre simplement [A]Φ(a). |>)

 

  • et du peu d’intérêt porté par la communauté scientifique à cette démarche algébrique..

 

Pour aller plus loin :

Il trouve cependant aujourd’hui tout son relief grâce :

  • au développement de la méthode extrinsèque qui peut être utilisée pour découvrir les décompositions non-triviales de ces mêmes produits vectoriels déformés ;

 

  • à une confrontation avec la méthode intrinsèque ; voir à ce sujet la page dédiée à la décomposition de Helmholtz (document sur vixra.org lien externe).

 

Par ailleurs, cette investigation initiale fait l’objet de développements complémentaires indispensables à une meilleure compréhension du sujet qui sont consignés dans le document consacré à l’étude de l’involution sur les espaces vectoriels munis d’un produit tensoriel déformé.

© Thierry PERIAT.

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Date de dernière mise à jour : 18/10/2021