Méthode intrinsèque

Partie principale des décompositions intrinsèques des produits vectoriels déformés.

Point 4.b de la table des matières ; document ISBN 978-2-36923-036-6, EAN 9782369230366, 27 pages.

Dans les espaces de dimension trois, les produits vectoriels déformés du type générique [a, ][A] acceptant une décomposition non-triviale ([P], z) dans M(3, C) x E(3, C) sont automatiquement associés à une polynomiale L(a) = |[P] – [A]F(a)| de degré deux écrite en fonction des trois composantes du projectile, a ; voir dans le document : le théorème initial.

Pour qu’une décomposition non-triviale existe, il suffit que cette polynomiale soit propre. Ce qui veut dire que la Hessienne [S0] = [Hess (a, 0) L(a)] de cette polynomiale est inversible et que celle-ci possède un vecteur singulier s. Dans ce cas, la partie principale [P] de la décomposition non-triviale d’un produit vectoriel déformé s’écrit génériquement :

[P] = {[A]t. [J]}. {½. [S0] + (1/|A|). [J]F(Ls)} avec |A| = ±1

Où :

  • la matrice carrée de M(3, C), [A], caractérise la déformation apportée au produit vectoriel classique qui sinon est conventionnellement défini par la matrice [J].
  • on peut considérer que la matrice [J] est une représentation d’une racine sixième de l’unité dans l’espace des nombres complexes.
  • la matrice carrée (3-3) [J]F(Ls) est la partie principale triviale de la décomposition de n’importe quel produit vectoriel classique du type :

|Ls Ù > = [J]F(Ls). |>

Ce résultat est le fruit d’une longue démonstration consignée initialement dans le document ISBN 978-2-36923-036-6, v1 du 16 octobre 2014. Il a été traduit en anglais où il est visible dans le document ISBN 978-2-36923-084-7 du 28 juin 2016. Il a également été incorporé au document francophone ISBN 978-2-36923-063-2 du 14 avril 2015 le confrontant avec ce que la physique dit au sujet des électrons de Bloch et finalement à la version anglophone de ce dernier.

Ce résultat est longtemps resté orphelin à cause :

  • de la taille de la démonstration,
  • de son apparence illogique (En effet, le projectile impliqué dans le produit vectoriel déformé n’y apparait que très indirectement alors qu’une décomposition triviale livre simplement [A]F(a). |>)
  • et du peu d’intérêt porté par la communauté scientifique à cette démarche algébrique.

Il trouve cependant aujourd’hui tout son relief dans une confrontation avec la méthode extrinsèque qui peut être utilisée pour découvrir les décompositions non-triviales de ces mêmes produits vectoriels déformés ; voir à ce sujet la page dédiée à la décomposition de Helmholtz (document sur vixra.org).

Par ailleurs, cette investigation initiale fait l’objet de développements complémentaires indispensables à une meilleure compréhension du sujet qui sont consignés dans le document consacré à l’étude de l’involution sur les espaces vectoriels munis d’un produit tensoriel déformé.

© Thierry PERIAT.

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Date de dernière mise à jour : 31/07/2021