Christoffel-Cartan

Etude des liens entre l’œuvre d’A. Einstein et celle d’E. Cartan.

Spéléologie bibliographique.

La juxtaposition de ces deux mots désigne d’une manière alternative les recherches bibliographiques. Celles-ci constituent un exercice indispensable à réaliser pour celles et ceux désirant asseoir une discussion thématique (voir aussi quelques conseils généraux).

La découverte fortuite, en 2003, que les décompositions triviales des produits vectoriels définis dans les espaces euclidiens classiques de dimension trois permettaient un traitement particulier des équations de J. C. Maxwell menant à redécouvrir l’expression de forces électromagnétiques de polarisation dans les régions a priori vides de l’univers (voir le document sur zenodo.org) m’a conduit à mettre au point des méthodes de décomposition des produits tensoriels déformés.

Le formalisme des parties non-triviales des décompositions obtenues par le développement de ces méthodes m’a progressivement mené vers les travaux d’E. B. Christoffel [01], ceux-ci vers l’œuvre d’A. Einstein [02 ; 1916] et enfin celle-ci vers l’analyse qu’en a fait E. Cartan [03 ; 1922].

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Le contenu actuel du document ISBN 978-2-36923-028-1 / EAN 9782369230281.

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Le document (en français, 21 pages, 6 juin 2021) présenté sur cette page :

  1. Première partie :
  • Expose les rudiments mathématiques permettant de manipuler les produits tensoriels déformés ;
  • Etablit le lien entre les produits de Lie déformés et la très ancienne notion de covariant bilinéaire, aujourd’hui rebaptisée différentiation extérieure ;
  • Montre un lien entre les produits vectoriels déformés et les quaternions (l’ensemble H).
  1. Seconde partie :
  • Réanalyse scrupuleusement les liens possibles entre les symboles de Christoffel de la première espèce introduits dans [01 ; p. 48, (4)] et un cube de nombres apparu dans les premières pages de [03].
  • Conclut que le cube alpha (rebaptisé A dans mon document) de Cartan peut toujours s’identifier au signe moins près avec un cube de Christoffel contenant les symboles homonymes de la première espèce à condition d’abandonner la symétrie introduite sans raison par Christoffel au niveau [01 ; p. 48, (5)].
  • Démontre que l’imposition de la relation [01 ; p. 48, (5)] n’empêche pas l’identification mais qu’elle impose la nullité du cube ; limitant la discussion à l’étude des formes bilinéaires invariantes.  

Bibliographie.

[01] Christoffel, E. B.: Über die Transformation der homogenen Dierentiale Ausdrücke zweiten Graden; Journal für die reine und angewandte Mathematik, pp. 46-70, 3Januar 1869. Ce document de 24 pages peut être consulté à l'Université de Göttingen (Allemagne).

[02] Einstein, A.: Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie; Annalen der Physik, vierte Folge, Band 49, (1916), N 7.

[03] Cartan, E. : Sur les équations de la gravitation d'Einstein ; extrait du journal de mathématiques, 1922, Fasc. numéro 2, édité par Gauthier-Villars et Cie, libraires du bureau des longitudes de l'école Polytechnique, Paris, 74 pages.

Deux idées d'application des travaux de Christoffel :

- La version mixte contra-covariante du tenseur champ électromagnétique : Idee app christoffel 01 20210609Idee app christoffel 01 20210609 (201.75 Ko).

- La confrontation avec les travaux d'Heisenberg.

© Thierry PERIAT.

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Date de dernière mise à jour : 10/06/2021