Initiation à la topologie

Initiation à la topologie : application à la théorie des produits tensoriels déformés.

Point 2.d de la table des matières - Document ISBN 978-2-36923-014-4, EAN 9782369230144, 17 avril 2021, 25 pages.

Le document : Isbn 014 4 topologie elementaireIsbn 014 4 topologie elementaire (369.56 Ko).

L'objectif du document est de commencer à équiper de manière classique la théorie des produits tensoriels déformés, puis décomposés -éventuellement non trivialement, d'une structure d'espace topologique+ au moyen de ces décompositions.

Cette approche exige de transposer des notions classiques de la topologie (point, voisinage, distance, etc.) au sein d'un ensemble de matrices de M(D, C)… et ce n’est pas chose aisée.

Je prends le pari que les décompositions triviales pourraient constituer l’ensemble des points de l’espace topologique recherché. Une difficulté surgit immédiatement : celle de relier ces éléments particuliers de M(D, C) à une source dans E(D, C).

La question peut se traiter de diverses façons. L’une d’elles est exposée dans le mémoire sur les dérivations et son exemple concernant les transformations de Lorentz.

Ici, j’aborde le sujet d’une toute autre manière en cherchant à diagonaliser ces représentations triviales.

J’illustre cette démarche en traitant l’exemple des représentations triviales des produits vectoriels classiques.

En revanche, il a été constaté que les points résultant de la restriction de cette discussion aux produits de Lie déformés étaient de taille nulle ; ce qui rapproche le concept de point tel qu'il a été introduit dans de document de celui qui est communément utilisé en physique.

Pour chaque produit tensoriel déformé, un ensemble de décompositions non triviales équivalentes à la décomposition la plus triviale de ce produit a été défini et caractérisé. La connaissance de cet ensemble et de ses caractéristiques participe à celle de la notion de voisinage telle qu'elle a été précisée dans ce document.

A la question légitime consistant à se demander si l'ensemble des parties principales des décompositions éventuellement non-triviales d'un produit déformé exhibe une (ou plusieurs) structure(s) mathématique(s) connue(s) ou intéressante(s), ce premier document apporte les éléments de réponse provisoires suivants ; sont définies les notions de :

  • point,
  • taille et de voisinage pour chaque point,
  • envergure des éléments d'un voisinage.

A ce stade d’avancement de cette recherche, le concept de distance n’est pas encore abordé. Par conséquent, la théorie ne dispose pas pour l’heure d'une structure d'espace topologique.

© Thierry PERIAT, 17 avril 2021.

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Date de dernière mise à jour : 29/06/2021