Espaces-vides-et-C-algèbres.

Titre : C*algèbres.

Auteur : © Thierry PERIAT.

Immatriculation : ISBN 978-2-36923-100-4 / EAN 9782369231004.

Langue : FR.

Version : 2, provisoire.

Nombre de pages : 40.

Date de parution : 5 mars 2021.

Document : Adv1 fr 20210823Adv1 fr 20210823 (369.14 Ko).

Les C*-algèbres et les espace-temps vides : quels liens ?

Les mathématiciens savent l’importance de la notion d’algèbre depuis longtemps ; et peut-être encore plus celle des C*-algèbres.

Au-delà de la nécessité de se forger une idée sur l’ensemble des sujets mathématiques, quel peut donc bien être l’intérêt de se pencher sur cette notion sophistiquée au sein d’une démarche visant à approfondir nos connaissances sur les espaces vides ?

Le lien, je l’avoue, n’est pas évident ; surtout s’il n’est pas expliqué. Je vais donc tenter de dégrossir le sujet.

L’omniprésence statistique des espace-temps vides et la rareté de la matière.

Il suffit de regarder un ciel étoilé par une belle nuit d’été sans nuage pour réaliser notre petitesse et, opposée à celle-ci, l’immensité sidérale, l’incroyable proportion de volumes vides et la kyrielle d’astres plus ou moins lumineux ponctuant le néant cosmique.

Pour faire bref : si le volume quadridimensionnel de l’espace-temps est mentalement découpé en volumes infinitésimaux, il y a bien plus de volumes ne contenant pas de matière astrale que de volumes en contenant.

C’est ce qui pourrait à juste titre être baptisé : l’omniprésence statistique du vide ; voir l’article consacré à la constante cosmologique.

Les plus perspicaces d’entre nous ferons d’ailleurs la remarque que cette disproportion se constate jusqu’aux échelles les plus petites du monde physique ; c’est-à-dire jusque et y compris au sein des molécules, des atomes et même de certaines particules.

La loi de Lorentz-Einstein et son terme gravitationnel.

Dans le cadre largement accepté de la théorie de la relativité générale (de la gravitation) d'A. Einstein, le mouvement des particules électriquement chargées est très souvent décrit en partant de la représentation covariante de la loi de Lorentz.

La version covariante de la densité de force de Lorentz se distingue habituellement de sa mouture classique par l’apparition de ce que je nomme le « terme gravitationnel »  (ce terme apparaît par exemple dans un ouvrage du professeur A. Lichnerowicz daté de 1955 [02 ; § 33, p. 68, (33-1)]) ; plus précisément par :

ÄG(2)(u, u)

De toute évidence, rien ne s’oppose à l’interpréter comme un produit tensoriel déformé par le cube des symboles de Christoffel de la seconde espèce, symboliquement dénoté G(2), et agissant sur le vecteur quadridimensionnel u.

La nullité, soit de la vitesse u, soit du cube de Christoffel, annule obligatoirement ce terme et cette double nullité correspond bien à la manière dont les situations classiques sont habituellement perçues et décrites.

Inversement, pour les mathématiciens, la nullité de ce terme gravitationnel ne correspond pas systématiquement aux situations classiques et à un énoncé standard de la force de Lorentz.

Voilà au moins une des raisons pour lesquelles il semble pertinent d’étudier la structure mathématique de l’espace {E(4, R), ÄG(2)} et -plus généralement- les espaces {E(D, K), ÄA}, où A représente n’importe quel cube de nombres choisis arbitrairement dans K et que la dimension de l’espace vectoriel des discussions est D.

Les doutes sur l’exactitude de la loi de Lorentz-Einstein.

Pour la complétude,  il faut noter l’analyse critique du formalisme habituel de la version covariante de la loi de Lorentz (dite aussi loi de Lorentz-Einstein) faite dans [03] :

m. |accélération + ÄG(2)(u, u)> = q. [Fla]. |u >

L’étude que je propose sur ce site commence avec le document ci-dessus. Elle n’a pas de caractère absolu et elle devrait essentiellement être perçue comme une invitation à aller plus loin dans l’analyse de ces relations. C’est ce que je tente de faire au travers de l’article intitulé : « Einstein versus Heisenberg ».

Les indications issues de l’exploration visant à doter un espace vectoriel d’une structure de C*algèbre via un produit tensoriel déformé.

Pour faire très court : les situations correspondant à une annulation du terme gravitationnel lorsque les ingrédients le constituant ne sont pas tous nuls sont aussi celles correspondant au fait que, pour les mathématiciens, {E(4, R), ÄG(2)} est munie d’une structure de C*-algèbre.

Par ailleurs, cette C*-algèbre exhibe un lien bien étrange avec le groupe cyclique C6 qui sera retrouvé :

 - dans l’exploration intitulée : « Le vide instable de Lamb et Rutherford » (chapitre : Cosmologie) ;

- dans l’exposé de la méthode intrinsèque de décomposition des produits vectoriels déformés de E(3, C) au travers de la matrice [J].

© Thierry PERIAT, parution initiale le 10 janvier 2019 ; texte revu le 29 mai 2022.

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Bibliographie indicative  :

[01] Lennuier R., Gal P. Y. et Perrin D. : Mécanique des particules, collection U, série physique, © A. Colin, Paris, 1970.

[02] Lichnerowicz, A. : Théories relativistes de la gravitation et de l'électromagnétisme (relativité générale et théories unitaires) ; préface du PrDarmois ; Masson et Cie Editeurs, Paris, 1955, 298 pages..

[03] The motion of point particles in curved spacetime; arXiv:1102.0529v3, 26 September 2011 (Major update of Living Reviews article, with final revision).

Date de dernière mise à jour : 22/06/2022

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