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L'immersion des objets

 

 Trente ans environ après E. Cartan [01], mais quarante ans avant d’obtenir le prix Nobel pour ses contributions à la théorie des jeux ou d’inspirer le film « Un bel esprit », le mathématicien américain J. Nash s’est penché sur l’opération géométrique consistant à immerger des objets mathématiques d’une certaine dimension, par exemple D, dans des objets de dimension plus grande ; par exemple D’ > D [02], [03].

Cette quête apporte des éléments de réponse à une double question que se posent les physiciens : « Un espace riemannien de dimension quatre peut-il être immergé dans un espace euclidien de dimension supérieure et si oui, quelle est la valeur minimale de cette dimension supérieure ? » Gromov ajoute une pierre à cet édifice en 1985 [04].

Les travaux de Nash prédisaient qu’il devrait être possible de remodeler n’importe quelle sphère en une balle de dimension bien plus petite sans l’écraser et sans en détruire des caractéristiques essentielles.

Au-delà du sourire de tous ceux qui, en entendant l’énoncé de ce problème, penseront immédiatement à un jeu mathématique n’ayant d’intérêt que pour celui qui l’a imaginé, se cache un passionnant problème de mathématique concernant les surfaces.

Il y a de très nombreux moyens d’inclure un objet dans un autre ; il suffit (i) de penser à une balle de ping-pong (tennis de table) qui -par sa fabrication même- s’identifie assez bien à une surface sphérique quasiment sans épaisseur (D = 2) et (ii) de constater sans effort mental particulier qu’elle s’inscrit sans difficulté dans le volume parallélépipédique de la salle dans laquelle on la tient en main (D’ = 3) pour commencer à comprendre l’essence du sujet traité.

Ce seul exemple permet d’ailleurs de comprendre pourquoi (i) la problématique de l’immersion implique forcément aussi celle de la courbure (des lignes, des surfaces, des volumes, des espace-temps, etc.) et (ii) il n’est pas si simple qu’il y paraît de construire un espace de dimension quatre à partir d’un espace de dimension trois.

Le mérite de Nash semble d’avoir été capable d’inventer une technique particulière d’immersion impliquant des twists des courbes présentes dans l’objet à immerger. Et celui de ses successeurs de comprendre que cette technique peut s’utiliser dans l’étude de l’écoulement des fluides ; d’où, aujourd’hui, tout l’intérêt de ce problème au travers de ses implications en physique !

© Thierry PERIAT, 14 juin 2021.

Bibliographie indicative :

[01] Cartan, E, : Sur la possibilité de plonger un espace riemannien donné dans un espace euclidien ; Ann. Soc. Pol. Math., t. 6, 1927, p. 1-7.

[02] Nash, J. F., Jr : C1-isometric imbeddings I, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A., Vol. 58, 1955, p. 545-556.

[03] Nash, J.: The imbedding problem for Riemannian manifolds; Annals of Mathematics, vol. 63, 1956, p. 20-63.

[04] Gromov, M.: Isometric immersions of Riemannian manifolds; Astérisque, n° S 131 (1985), 5p.

[05] Borelli, V.; Jabrane, S.; Lazarus, F.; Thibert, B.: The Nash-Kuiper process for curves; Séminaire de théorie spectrale et géométrie, Tome 30 (2011-2012), pp. 1-19, doi : https://doi.org/10.5802/tsg.288. http://www.numdam.org/articles/10.5802/tsg.288/

[06] De Lellis, C. : The Nash-Kuiper theorem and the Onsager conjecture ; ICCM Not., Vol. 8, pp. 17-26, (2020).

[07] De Lellis, C.; Inauen, D.; Székelyhidi Jr, L. : A Nash-Kuiper theorem for C1,1/5-d immersions of surfaces in 3 dimensions.

[08] Mathematicians identify threshold at which shapes give way ; quantamagazine.org, June 3, 2021.

 

Crédit photographique : image de HeungSoon sur Pixabay (version allemande).

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Date de dernière mise à jour : 22/11/2021