Les-trans-de-Lorentz.

Une brique indispensable de l’édifice relativiste.

 Les transformations de Lorentz... voilà une série de quatre mots réapparaissant sans cesse dans la littérature scientifique consacrée à la théorie de la relativité, plus particulièrement, dans sa version dite restreinte.

Le lecteur francophone peut découvrir la démonstration in extenso de leur formalisme dans un livre un peu ancien [01; voir les annexes à la fin du livre] ; ce qui ne change en rien la validité des calculs ni ne perturbe la logique sous-jacente à ceux-ci.

Leur origine.

 La cause historique ayant justifié leur énoncé est et reste l’expérience de Morley et Michelson [02] démontrant finalement l’inexistence de « l’éther », ce milieu transparent omniprésent dans lequel la lumière était présupposée se propager.  

Le mot était courant et banal à la fin du dix-neuvième siècle. Il apparait par exemple dans les écrits de Minkowski (un des professeurs de mathématique d’A. Einstein) et dans ceux de Lorentz.

Il faut dire que, à la suite des travaux de J.C. Maxwell [03] et à cause de l’enthousiasme des foules de l’époque pour tout ce qui touchait au magnétisme, la notion « d’éther luminescent » s’était naturellement imposée aux esprits et qu’elle avait bien logiquement trouvé une place dans le langage du moment.

Certains groupes, émerveillés par les propriétés apparemment magiques mais surtout encore mal connues des corps électromagnétiques, s’étaient même lancés à corps perdu dans les séances de spiritisme (Une thématique abordée dans le film « Magic in the Moonlight » de Woody Allen, 2014).

Quand au fond.

 Plus sérieusement, les expériences de Morley et Michelson (1887) disent que la vitesse des ondes électromagnétiques (donc de la lumière visible en particulier) circulant dans le vide ne dépend ni de la position, ni de la vitesse de celui ou de celle qui observe ce mouvement de lumière …

... aussi longtemps que l’observateur (-trice) se trouve à un endroit où la somme des forces s’y exerçant sont nulles. De tels observateurs sont dits « inertiels » pour signifier qu’ils sont situés à l’origine d’un « référentiel inertiel » (voir aussi l'article "Ondes graves et référentiels".

Lorentz n’a fait « que » traduire ce résultat expérimental dans le langage des mathématiques mais encore fallait-il le faire !

Ce qu’il faut absolument retenir pour de futurs développements se résume à cette association fondamentale entre :

« Quantité conservée (ici la vitesse de la lumière : c) ⇔ Transformations (ici celles de Lorentz) ».

Depuis ce temps-là, le mot « éther » est banni à tout jamais du vocabulaire scientifique et le seul fait qu’il apparaisse dans un texte proposé à un jury chargé de lire votre proposition d’article peut suffire à déclencher le rejet systématique.

J’en parle par expérience… puisque c’est ce qui est arrivé à mes réflexions sur la nature des régions vides de l’espace-temps consignées sur la page « J.C : Maxwell revisité » (lien externe zenodo.org).

Il est vrai qu’en 2003, mon vocabulaire de physicien en herbe (voir le rôle des amateurs) n’avait pas encore atteint la maturité nécessaire.

L'importance des transformations de Lorentz.

Pourquoi ces transformations sont-elles si importantes en physique ? Il existe plusieurs raisons justifiant l’importance donnée aux transformations de Lorentz.

Voir aussi la page consacrée à : "La constante cosmologique".

L'unification de l'électricité et du magnétisme.

 Premièrement, ces transformations permettent de comparer ce que deux observateurs « inertiels » peuvent dire et mesurer sur un même phénomène électromagnétique.

Cette capacité à décrire et prévoir correctement a assuré le succès de la relativité restreinte. Plus précisément : cette aptitude à relier électricité et magnétisme, à faire comprendre le lien entre deux branches de la physique qui avaient été jusque-là considérée à tort comme disjointes (voir exposés dans [01] par exemple) a donné ses lettres de noblesse aux transformations de Lorentz.

Pour prendre un exemple simple mais facilement compréhensible et souvent expliqué en classe, si un observateur peut se déplacer à la même vitesse –supposée constante- et dans la même direction qu’un électron, cet électron paraîtra être une particule immobile, statique. Il sera le centre émetteur d’un champ électrique central. Dès le moment où les vitesses constantes de l’observateur et de l’électron diffèrent, cet électron n’est plus perçu comme statique mais comme un courant électrique et, à ce titre, il induit également des phénomènes magnétiques.

Le point de dispute entre les théories des cordes et les théories sur les boucles quantiques.

Ensuite ces transformations sont au centre d’une polémique moderne, d’une guerre de d’idées entre les défenseurs des théories des cordes et les équipes qui travaillent sur les boucles quantiques.

Une de ces deux écoles de pensée part du principe que les transformations de Lorentz sont invariantes ; l’autre, bien évidemment, pense le contraire.

Qui a raison ? Nul ne le sait ; le débat continue entre les deux camps que je laisse à leurs délibérations. Pour l’heure, les expériences semblent quand même privilégier l’hypothèse de l’invariance des transformations.

Le renouveau des réflexions sur la notion d’invariance.

Enfin, la troisième raison pour laquelle ces transformations sont importantes –et c’est celle sur laquelle je développe la théorie des produits tensoriels déformé- tient au fait qu’elles forcent à réexaminer plus à fond le contexte mathématique dans lequel elles s’inscrivent. Ce contexte : « Quel est-il ? »

Comme je l’ai rappelé dans la partie introductive de cet article, la question essentielle posée par l’expérience de Morley et Michelson aux scientifiques est celle de la préservation d’une quantité ; en l’occurrence du carré de l’élément infinitésimal de longueur (lien externe zenodo.org).

Les transformations de Lorentz représentent en quelque sorte la réponse mathématique retenue par la communauté scientifique pour répondre aux exigences de cette préservation.

Mais historiquement, elles ne sont ni les premières réponses, ni les plus générales, que les mathématiques ont pu donner à cette question essentielle.

N’en déplaise à certaines approches modernes répugnant à faire l’exégèse des textes scientifiques anciens, il faut aller chercher jusqu’en 1869 les travaux d’E. B. Christoffel [04] et un peu plus tard, en 1899, la traduction [05] qu’en a fait en français E. Cotton, pour retrouver les premières traces d’un traitement systématique de la question posée. Et ce sont bien les travaux dont A. Einstein s’est inspiré ensuite dans son œuvre maîtresse [06].

En relisant [04] avec beaucoup d’attention il peut naître l’idée légitime qu’il n’y a aucune bonne raison de limiter l’application des résultats obtenus à la seule préservation de l’élément infinitésimal de longueur. Par exemple, il pourrait être fait un autre choix tout aussi pertinent : celui de préserver la limite quantique, h ; voir [07].

© Thierry PERIAT, version relue et révisée du 02 octobre 2015.

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Bibliographie :

[01] Mécanique des particules, champs : R. LENNUIER, P.-Y. GAL, D. PERRIN ; Collection U, © Librairie Armand COLIN, PARIS 1970. (Ce livre est accessible sur abebooks.de, ammareal.fr, ebay.fr, lalibrairie.com, leslibrairies.fr,iberlibro.com, shopping.rakutten.com, mollat.com, opac-insa.univ-rennes1.fr, catalogue.nla.gov.au, pmb.univ-saida.dz, worldcat.org, etc., etc…).

[02] A. Michelson and E. Morley: ‘On the Relative Motion of the Earth and the Luminiferous Ether. Originally published in “The American Journal of Science”, N° 203-November 1887 (Editors James D. and Edward S. Dana; associated editors: Prof. A. Gray, J. P. Cooke, and J. Trowbridge, of Cambridge, Prof. H.A. Newton, and A. E. Verrill of New Haven; Prof. G. F. Barker of Philadelphia. Third series, Vol. XXXIV.- (Whole number, CXXXIV.)

[03] A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field: J. Clerk Maxwell; Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1865, 155: 459–512; accessible sur le site http://rstl.royalsocietypublishing.org/

[04] Über die Transformationen der homogenen Differenzialausdrücke zweites Grades: E.B. Christoffel, in Journal für die reine und angewandte Mathematik, (pp. 46 - 70), Berlin 1826; 03.01.1869. (Accessible sur les archives de l’Université de Göttingen).

[05] Cotton, E. : Sur les variétés à trois dimensions ; annales de la faculté des sciences de Toulouse, 2ème série, tome 1, n°4 (1899), p. 385-438 ; [numdam.org/item?id=AFST_1899_2_1_4_385_0].

[06] Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie; von A. Einstein. Annalen der Physik: vierte Folge, Band 49 (1916), Nr. 7.

[07] Voir l’application de cette idée sur ma page « W. Heisenberg versus A. Einstein ». 

Date de dernière mise à jour : 17/06/2022

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