Un lien entre Maxwell et Dirac ?

 

Peut-on comparer ou relier les équations de Maxwell à l’équation de Dirac ? Si oui, de quelle manière ? C'est ce que va tenter d'expliquer cet article.

 

Une vieille dame qui a changé de nom au cours du temps : l’équation de Klein-Gordon.

L’équation de Klein-Gordon [01 ; pp. 133, Equ.(63), p. 134, p.337, Equ.(20), et p. 557], fondamentalement, décrit la propagation d’ondes massives, y compris dans le vide.

Elle mérite d’être perçue comme la mère mathématique de la célèbre équation de Dirac [02 ; p. 213 et p. 269], [03 ; évoquée en p. 1205 pour dire qu’elle ne serait pas étudiée à cet endroit-là et p. 1208], [04 ; en allemand, voir le chapitre 2], [09 ; §3.1, pp. 98-99]. On pourrait d’ailleurs dire - avec un peu d’exagération- que celle de Dirac représente une sorte de racine carrée de celle de Klein-Gordon.

La volonté d’incorporer la très ancienne équation de Klein-Gordon dans le corpus des théories quantiques apparues au début du vingtième siècle et dans celui de la mécanique relativiste publiée à la fin du dix-neuvième siècle a favorisé, voire forcé, le développement de nouvelles manières de penser.

En particulier, elle a justifié l’apparition des notions de probabilité de présence et de courants de probabilités. Celles-ci ont remplacé les concepts plus traditionnels de densité volumique de matière et de flux matériel. Il existe des explications détaillées de cette nécessaire évolution de l’interprétation physique dans les premiers chapitres de tous les ouvrages introduisant les bases des théories quantiques modernes [04 ; §1.4, pp. 3-5].

Si un public averti ou amateur de physique théorique a déjà eu plus ou moins connaissance des propos précédents, les travaux ayant tenté d’unifier les équations de Maxwell [05] et celles de Dirac via la notion de spineur restent en revanche presqu’inconnus.

Résumé d'une tentative.

 Le point de vue usuel issu des travaux théoriques réalisés au vingtième siècle considère que les équations de Maxwell décrivent les transmetteurs des interactions électromagnétiques, c’est-à-dire des bosons, en particulier des photons, qui sont des particules de spin entier égal à un ; alors que les équations de Dirac décrivent les sources des champs électromagnétiques, c’est-à-dire des fermions, en particulier des électrons qui sont des particules matérielles de spin un demi.

De sorte que les deux types de « particules » appartiennent à deux sous-ensembles distincts de l’ensemble des représentations irréductibles du groupe de Poincaré. Ce point de vue semble interdire l’unification des deux familles de particules au sein d’une théorie plus vaste.

Pour autant, les partisans de l’existence de théories unitaires qui se succèdent au cours des siècles, en particulier au cours du vingtième, ont remarqué deux éléments techniques susceptibles d’ouvrir les portes d’un domaine commun aux particules des deux sous-ensembles cités ; propos relatés dans [06 ; en anglais] :

  1. Il existe de multiples représentations des équations de Maxwell et de Dirac ;
  2. Toutes les deux admettent des formulations faisant intervenir des spineurs.

Une investigation technique et précise de ces apparentes similitudes fait intervenir les travaux de plusieurs équipes de chercheurs ; elle implique en particulier l’analyse de l’équation de Dirac faite par C. Lanczos en 1929 [07], ainsi que les très anciennes notions de bi-quaternions et d’algèbres de Clifford.

Si on en croit les propos tenus dans [06], cette exploration s’est heurtée à une difficulté technique liée au fait que les spineurs intervenant dans les équations étudiées n’ont pas le même nombre de composantes (six pour les équations de Maxwell et huit pour celles de Dirac) ; ce qui, jusqu’à ce jour, oblitère considérablement les chances d’atteindre l’objectif d’unification au travers de cette démarche.

Quelques éclairages supplémentaires.

 En 1928, Dirac publie une équation devenue célèbre et dont il aurait dit qu’elle était plus intelligente que lui. La démonstration du lien entre l’équation de Klein-Gordon qu’on appelait à cette époque « équation d’onde relativiste de Schrödinger » (voir [08 ; p.3]) et celle de Dirac n’est pas horriblement compliquée et se trouve dans tous les ouvrages d’introduction à la mécanique quantique ; une fois encore voir [04] ou [09 ; § 3.3, pp. 102-109, en allemand].

Son intérêt réside dans le fait qu’elle réalise avec succès un lien entre l’approche quantique et la mécanique relativiste restreinte puisqu’elle permet la description des électrons relativistes (se déplaçant à grande vitesse).

Lanczos publie en 1929 un travail dont il ne parlera lui-même que de très rares fois ; propos relatés dans [08]. Désormais oublié - sauf par quelques spécialistes de l’histoire de la physique et quelques chercheurs suivant ses traces- ce document démontre que le formalisme de l’équation de Dirac peut s’obtenir dans le cadre d’une démarche mathématique plus sophistiquée de la pensée.

On trouve une brève description de la démarche suivie dans [10 ; introduction, 1937] où il est mentionné que Lanczos interprète les composantes de la fonction d’onde comme étant celles d’un quaternion et les composantes des matrices de Dirac comme des fonctions linéairement dépendantes de quaternions.

Plus surprenant encore, cette approche montre que les équations ont toujours pour solutions non pas une mais deux équations de Dirac ; voir [08 ; § 7. p. 14, (19)] citant [07 ; p. 459, Equ.(54)].

Les calculs figurant dans [10] notent également au passage un point technique, semblant apparemment anodin, qui se révèlera être important dans les années qui suivront : l’indétermination de la définition du produit de deux quaternions [10 ; p. 153 de la référence] puisqu’il en existe deux.

Le document [08] revient sur ce point en page 8 et évoque le lien possible entre cette double définition et la notion de particules isospin ; notion dont Lanczos ne pouvait pas avoir connaissance pour des raisons liées à la chronologie des découvertes physiques expérimentales.

Quelques leçons de l’histoire.

Ne souhaitant pas ennuyer mon lectorat par une description exhaustive des travaux réalisés par C. Lanczos, je retiendrai de cet exemple historique les points suivants :

  • Il illustre une fois de plus le fait que l’existence d’un objet mathématique commun à deux approches physiques (ici les spineurs) n’implique pas nécessairement qu’il s’agisse des mêmes objets ; « Comparaison n’est pas raison ».

  • Il montre l’absolue nécessité de réaliser une analyse technique précise et sans compromis de l’hypothèse initiale ; ici : des équations fondamentales de la physique théorique impliquent des objets mathématiques appartenant à une même catégorie, celle des spineurs, il se pourrait donc que ces équations puissent être reliées rationnellement entre elles. C’est bien connu : « Le diable, une fois de plus, se cache dans les détails » et il se charge de détruire un bon nombre de nos rêves.

  • Il démontre cependant et fort heureusement la multitude des approches intellectuelles possibles pour un sujet donné. Cette créativité mentale, lorsqu’elle est utilisée à bon escient, demeure la porte ouvrant sur tous les espoirs futurs de découvrir les ponts de l’unification recherchée.

Je tenterai de revenir un peu plus tard sur les travaux souvent ignorés de C. Lanczos dans un autre article. Je noterai également que les travaux sur les algèbres de Clifford et sur les quaternions ne se sont pas arrêtés avec la difficulté technique rappelée ici et qu’il existe désormais des formulations de la théorie de la gravitation d’A. Einstein dans le langage de ces algèbres.

© Thierry PERIAT, le 5 avril 2022.

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Bibliographie indicative à consulter pour parfaire la compréhension de l’article.

[01] Crawford, S. F. Junior and Léna P. : Ondes ; Berkeley, cours de physique, volume 3, © Librairie Armand Colin, Paris, 1972 (Il s’agit en réalité de la traduction française de l’ouvrage intitulé « Waves » Berkeley Physics Course, volume 3, et publié en 1968 par la McGraw-Hill Book Company), 603 pages.

[02] Wichmann E. H., Lallemand, P. et Ostrowsky, N. : Physique quantique ; Berkeley, cours de physique, volume 4, © Librairie Armand Colin, Paris, 1974 (Il s’agit en réalité de la traduction française de l’ouvrage intitulé « Quantum Physics » Berkeley Physics Course, volume 4, et publié en 1967 par la McGraw-Hill Book Company), 423 pages.

[03] Cohen-Tanoudji, C, Diu, B. et Laloë, F. : Mécanique quantique, Tome I et II ; Collection enseignement des sciences, © 1973, Hermann, Paris, ISBN 2 7056 5733 9, 1518 pages.

[04] Freeman Dyson : Quantenfeldtheorie, © Springer Spektrum, Springer Science+Business Media, traduction de l’œuvre originale (en anglais) en allemand par Franziska Riedel et Benedikt Ziebarth, ISBN 978-3-642-37677-1, 2011, 288 pages.

[05] Maxwell, J. C.: A dynamical theory of the electromagnetic field; Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1865 155, 459-512, doi: 10.1098/rstl.1865.0008.

[06] On the “equivalence” of the Maxwell and the Dirac equations; arXiv: math-phy/0201053v2, 4 April 2002; also published in Int. J. Theor. Phys. 41 (2002) 689-694.

[07] Lanczos, C. Die tensoranalytischen Beziehungen der Diracschen Gleichung (The tensor analytical relationships of Dirac’s equation), Zeits. f. Phys. 57 (1929) 447–473. Reprinted and translated in W.R. Davis et al., eds., Cornelius Lanczos Collected Published Papers With Commentaries, III (North Carolina State University, Raleigh, 1998) pages 2-1132 to 2-1185; e-print arXiv: physics/0508002 available at http://arXiv.org/abs/physics/0508002.

[08] From Dirac’s equation to non-linear wave mechanics ; arXiv : physics/0508036v2 [physics.hist-phy] 10 August 2005.

[09] Scherz, U.: Quantenmechanik: Eine Einführung mit Anwendungen auf Atome, Moleküle und Festkörper; Teubner Studienbücher, Physik, © 1999, B. G. Teubner, Stuttgart, Leipzig, ISBN 3-519-03246-5, 669 Pages.

[10] Conway, A. W.: Quaternion treatment of the relativistic wave equation; publication of the royal society, Vol. CLXII-A. pp. 145-154, 15 September 1937, 10 Pages.

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Date de dernière mise à jour : 22/05/2022

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