Loi-de-Lorentz.

Pour des motifs d’ordre pédagogique, la mouture covariante de la loi de Lorentz [01] sert de fil conducteur à une progression exposée sur ce site.

Liste des explorations sur le sujet :

  • E-B-Christoffel-revisité

    Ce document revient sur un travail d'E. B. Christoffel énonçant les relations accompagnant la préservation des formes différentielles bilinéaires.
  • Lorentz-Sturm-Liouville

    La version covariante de la loi de Lorentz se laisse mettre sous la forme d’un opérateur différentiel vectoriel d’ordre deux.
  • Einstein-versus-Heisenberg

    Etude de l'invariance simultanée de la vitesse de propagation de la lumière dans le vide et de la limite quantique à l'aide des travaux d'E. B. Christoffel.
  • Les-champs-duaux.

    Ce travail découvre les matrices de passage vers les représentations duales des champs EM et montre leur lien avec les flux d'énergie portés par les particules.

Le lien entre les déformations de la géométrie et celles des produits tensoriels.

La théorie de la question (E) défend le point de vue selon lequel les produits tensoriels peuvent être déformés et décomposés non-trivialement.

Elle base cet a priori sur certaines réalités physiques, parmi lesquelles :

- la géométrie peut être déformée (effet Lense-Thirring, ondes gravitationnelles) et

- toutes les mesures physiques sont entachées par un certain degré d’incertitude (principe d’incertitude d'Heisenberg) ; voir un traitement spécifique de ce principe ci-dessous.

Origine historique, justification et analyses récentes de la loi de Lorentz-Einstein.

La loi est introduite dans certains ouvrages académiques récents (ex : [02 ; 2003]) consacrés à expliquer la théorie de la relativité générale d’A. Einstein [03]. Elle y est présentée comme l’illustration type de la manière d’introduire la présence d’un champ de gravitation au sein des équations classiques ; en particulier au sein de celles proposées par J. C. Maxwell à la fin du dix-neuvième siècle [04] dans sa théorie de l’électromagnétisme ; voir aussi l'analyse faite de ces travaux sur le site.

Plus précisément elle est l’exemple de référence utilisé pour faire comprendre la notion et le rôle de la dérivation covariante. Pour une introduction à la notion de dérivation en général, voir la page : « Dérivations » et pour une exégèse du travail d’A. Einstein dans lequel il introduit la notion de dérivée covariante, voir la page « E. B : Christoffel revisité » ci-dessous.

En réalité, on la retrouve dans des ouvrages en langue française vers 1955, par ex : [01], au demeurant sans aucune justification explicite, ni numérotation. Tout comme si son existence allait de soi.

Il m’aura fallu attendre le mois de février 2019 pour enfin comprendre son origine historique [05] et tout l’avantage à se focaliser sur elle.

Elle n’est « que » le résultat logique de la démarche initiée par A. Einstein avec son article de 1935 [06], consistant à vouloir intégrer harmonieusement les lois de Maxwell dans l’édifice de la relativité générale. Quitte à généraliser encore un peu plus celle-ci ; par exemple : en abandonnant la géométrie de Riemann pour une autre géométrie rendant mieux compte de la réalité physique et quitte à donner aux particules élémentaires une représentation géométrique codifiée. L’approche développée sur le site se penche également sur cet article : voir la page « Einstein-Rosen revisité ».

En d’autres termes, la version covariante de la loi de Lorentz (dite encore de Lorentz-Einstein (LLE)) marque le point de départ de la quête encore en cours et devant mener à l’avènement d’une théorie quantique de la gravitation.

Techniquement, elle est le résultat d’une démarche considérant les particules élémentaires comme des singularités et utilisant la technique dite d’Einstein-Infeld-Hoffmann (EIF) [05 ; p. 206]. Elle permet de rendre compte du comportement des ondes électromagnétiques « évoluant » au sein d’un champ de gravitation (décalage vers le rouge lorsque la géométrie de l’espace-temps est celle de Schwarzschild).

L’ouvrage académique [07] a repris une analyse de cette loi en tentant d’y intégrer des phénomènes relativistes couramment qualifiés d’« effets retards ».

L’approche spécifique de la théorie des produits tensoriels déformés.

La théorie étudiant les décompositions des produits tensoriels déformés ne réanalyse dans un premier temps pas les origines physiques de cette loi ; elle la considère telle qu’elle est avec un regard mathématique.

Ce parti-pris se justifie à la seule vue du terme « gravitationnel » apparaissant dans le formalisme de cette loi ; il est de fait un carré tensoriel déformé par le cube des symboles de Christoffel de la seconde espèce.

Quelles que soient les conclusions que tirera le mathématicien sur cette loi à l’aide de cette focale, il devra donc garder en mémoire les rappels historiques énoncés au paragraphe précédent. En particulier il devra prendre soin de ne pas surinterpréter ses résultats.

Critiques.

Ce choix appelle cependant deux types de remarques :

  • Premièrement, il est discutable de vouloir fonder une théorie globale sur une loi particulière ; sauf à penser que cette dernière aurait un caractère générique et universel.
  • Deuxièmement, il existe d’autres produits tensoriels déformés intéressants à scruter au sein de l’arsenal des théories physiques actuelles.

Concernant le premier aspect, rien ne garantit que tous les phénomènes physiques soient des particules ponctuelles, ni même qu’ils se meuvent en respectant exactement cette loi. L’étude réalisée dans [07] met bien l’accent sur cet aspect-là.

Pour illustrer la seconde critique implicite liée au choix fait jusqu’à ce jour, je citerai la formulation du champ électrique à laquelle parvient la théorie de la gravitation quantique à boucles [08 ; p. 18, (1.16)] .

Mais je citerai aussi, et potentiellement beaucoup plus intéressant par rapport au but que je poursuis, la formulation de la théorie de la relativité générale due à Weyl et rappelée brièvement dans [09 ; p. 719] :

Gm = Gmab. ga. gb

Où : (i) le symbole Gamma ne représente plus ici ceux qui avaient été introduits par Christoffel mais les composantes de la connexion de spin utilisée par Weyl ; et où : (ii) les gammas sont les matrices de Dirac. Je noterai au passage que, dans ce cadre-là (faisant usage du concept des vierbein Vm), il vient également :

gmn = ¼. Tr(Vm. Vn) ; Gmn = -¼. Rabmn. Va. Vb = ¶nGm - ¶mGn + [Gm, Gn]

Bref, j’en déduis que :

  • la notion de produit tensoriel déformé peut se développer dans de nombreux domaines de la physique.
  • La recherche de modèles théoriques cherchant à éliminer la difficulté entourant les singularités laissées derrière elle par la théorie de la relativité générale (A. Einstein) [03] n’est pas récente. L’approche proposée dans [09 ; 1976] appartient à cette catégorie de modèles.

Elle paraît après que la communauté scientifique a eu conclu à la non-renormalisation de la relativité générale, et à un moment où il est cru qu’une modification de cette dernière préservant la covariance pourrait permettre de sortir de cette impasse ; voir l’historique proposé dans [10 ; Annexe B.2, pp. 288-301].

Il faut sans doute noter ici le travail récent [11], [12] ressuscitant les démons entourant un éventuel non-respect de la covariance au sein de la théorie de la gravitation quantique à boucles. Un sujet qui semblait pourtant traité dans [13].

Retour vers l'ensemble des thématiques.

© Thierry PERIAT.

Bibliographie :

[01] Lichnerowicz, A. : Théories de l’électromagnétisme et de la gravitation (1955).

[02] Fließbach, T.: Allgemeine Relativitätstheorie, 4. Auflage, © 2003, 1998, 1995, Spektrum Akademischer Verlag GmbH, Heidelberg, Berlin; ISBN 3-8274-1356-7, 343 S.

[03] Einstein, A.: Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie; Annalen der Physik, vierte Folge, Band 49, (1916), N 7. (b) Einstein, A. and Minkowski, H.: The principle of relativity; translated in English by Saha, M.N. and Bose, S.N. published by the University of Calcutta, 1920; available at the Library of the M.I.T.

[04] Maxwell, J. C.: A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field; Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1865, 155: 459–512; http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/155/459].

[05] Stephenson, G.: La géométrie de Finsler et les théories du champ unifié ; Annales de l’I.H.P., tome 15, n°3 (1957), p. 205 – 215 ; http://www.numdam.org/item?id=AIHP_1957__15_3_205_0.

[06] A. Einstein, N. Rosen: The particle problem in the theory of relativity; pp. 73-77, physical review, vol. 48, July 1, 1935.

[07] The motion of point particle in curved spacetime; arXiv:1102.0529v3 [gr-qc] 26 September 2011.

[08] Sardelli, F. : Aspects de la gravitation quantique à boucles, la représentation polymère, la jauge temporelle et lien entre approches covariante et canonique ; thèse soutenue pour obtenir le grade de Docteur de l'université François – Rabelais, Tours, Discipline/ Spécialité : Physique, présentée le 12 décembre 2011.

[09] Sinha, K.P., Sivaram, C., Sudarshan, E.C.G.: The superfluid vacuum state, time varying cosmological constant, and non-singular cosmological models; reprinted from Foundations of physics, Vol. 6, N°6, December 1976.

[10] Rovelli, C. : Quantum Gravity, draft version, December 30, 2003; on Wikipedia.

[11] Critical evaluation of common claims in loop quantum cosmology; arXiv:2002.05703v1[gr-qc] 13 February 2020.

[12] A no-go result for covariance in models of loop quantum gravity; arXiv: arXiv:2007.16066v1, 30 July 2020.

[13] Rovelli, C. and Vidotto, F.: Covariant Loop Quantum Gravity, an elementary introduction to quantum gravity and spin-foam theory; ISBN 9781107069626, December 2014 (available for institutional purchase via Cambridge Books Online).